数学与应用数学专业毕业论文 积分中值定理的证明及其应用

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1、上饶师范学院数学与计算机科学学院本科毕业论文论文题目：积分中值定理的证明及其应用专业：数学与应用数学班级：10数（2）学号：10010230学生姓名：刘秀峰指导教师姓名：汪小明上饶师范学院数学与计算机科学学院2014年05月摘要本文总结了积分中值定理证明及其应用，积分中值定理的推广及其推广的积分中值定理的应用，以及给出了一些相关的例子.关键词积分中值定理；推广；应用AbstractThispapersummarizestheintegralmeanvaluetheoremprovingandapplicati

2、onapplicationofintegralmeanvaluetheoremisextendedandgeneralizedintegralmeanvaluetheoremandgivessomeexamplesKeywordsintegralmeanvaluetheorem;spread;applicationI目录绪论…………………………………………………………………………11积分中值定理的证明………………………………………………………21.1积分第一中值定理……………………………………………………21

3、.2积分第二中值定理………………………………………………………22积分中值定理的应用………………………………………………………42.1估计积分值………………………………………………………………42.2证明函数的单调性………………………………………………………53积分中值定理的推广………………………………………………………53.1积分第一中值定理的推广………………………………………………53.2积分第二中值定理的推广………………………………………………63.3第一曲线积分中值定理…………………………………………

4、………73.4第一曲面积分中值定理…………………………………………………74推广的积分中值定理应用…………………………………………………85结论……………………………………………………………………12谢辞……………………………………………………………………………13参考文献………………………………………………………………………14II积分中值定理的证明及其应用2010级数学与计算机科学学院（2）班刘秀峰指导老师：汪小明绪论:通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理。而在此我们既讨论了在特

5、殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形。还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理。并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学。我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值。虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题。本论文的研究过程为：讨论和分析积

6、分中值定理，然后将其加以推广，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题。论文研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理，推广，将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法这个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来。11积分中值定理的证明1.1积分第一中值定理定理1[1]如果函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一个点，使下式成立。证明：因为在上连续，所以在上有最大值和最小值,即，我们对不等式进行积可得有积分性质可知由于，对不等

7、式同时除以可得。此式表明介于函数的最大值和最小值之间。由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间上至少存在一点，使得函数在点处的值与这个数相等，即应该有，成立，将上式两端乘以即可得到，命题得证。备注1：很显然，积分中值定理中公式（在与之间）不论或都是成立的。21.2积分第二中值定理定理2[2]设函数在上可积.（i）若函数在上减，且0，则存在，使得(5)（ii）若函数在上增，且0，则存在，使得(6)证明：下面只证（i），类似地可证（ii）.设.由于在上可积，因此在上连续，从而存在最大值和最小值.若=0,由假设，,此

8、时对任何,(5)式恒成立.下面设，这是（5）式即为.(5*)所以问题转化为只须证明（7）因为由此可借助的介值姓立刻证得（5*）当然（7）式又等同于（7*）下面就来证明这个不等式由条件有界，设；而必为可积，从而对任给的>0，必有分割：,使得现把=按积分区间可加性写成3.对于,必有.对于,由于，和，可得再由且减，使得其中于是利用估计得同理由又有综合得到由为任意小正数，这便证得即不等式（7*）成立.随之又