微分中值定理的证明及其应用 数学毕业论文

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1、新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文2014届本科毕业论文（设计）题目：微分中值定理的证明及其应用学院：数学科学学院专业班级：数学09-3班学生姓名：指导教师：答辩日期：2014年5月8日新疆师范大学教务处新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文目录1.引言2⒉微分中值定理22.1罗日（Rolle）中值定理22.2拉格朗日（Lagrange）中值定理22.3柯西（Cauchy）中值定理33.微分中值定理的证明33.1罗日（Rolle）中值定理的证明33.2拉格

2、朗日（Lagrange）中值定理的证明43.3柯西（Cauchy）中值定理的证明64.微分中值定理的几何解释74.1罗日（Rolle）中值定理的几何解释74.2拉格朗日（Lagrange）中值定理的几何解释84.3柯西（Cauchy）中值定理的几何解释85.微分中值定理的应用86.总结12参考文献13致谢14新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文微分中值定理的证明及其应用摘要：在本文中主要讨论了微分中值定理，即：Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。在

3、这里我首先分别用了图形法，行列式法，积分法给出了它们的证明和几何解释，其次对这些微分中值定理在等式的证明，不等式的证明，方程根的存在性及其求近似值等中的应用技巧作了系统的总结，最后通过给出几个应用例子来进一步讨论了微分中值定理在解题、证题中的作用和应用技巧。关键词：辅助函数；等式证明；不等式证明；方程根存在性；近似值；14新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文1.引言微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它是微分学的理论核心。微分中值定理是在数学分析中有重要的地位，在微积分教学与

4、研究中具有承前局后的作用，是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具。微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中有重要的地位，在微积分教学与研究中具有承前局后的作用，是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具。本文是以罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个定理为研究对象，主要介绍微分中值定理的若干推广和应用。⒉微分中值定理2.1罗日（Rolle）中值定理若函数满足如下条件：（ⅰ）在闭区间上连续。（ⅱ）在开区间内可导。（ⅲ）,则在内至少存在一点，使得2.2拉格朗日（Lagrange）中值定理若

5、函数满足如下条件：（ⅰ）在闭区间上连续。（ⅱ）在开区间内可导,则在内至少存在一点，使得=注：拉格朗日中值定理的结论称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式。可根据不同问题的特点，在不同场合灵活选用：①②＜＜1③＜＜114新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文2.3柯西（Cauchy）中值定理设函数和满足：（ⅰ）在上都连续。（ⅱ）在内都可导。（ⅲ）和不同时为零。（ⅳ），则存在使得。3.微分中值定理的证明3.1罗日（Rolle）中值定理的证明证法一：根据条件在闭区间上连续和闭区间上连续

6、函数的最大最小值定理，若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上能取到最小值和最大值.既在区间上存在两点和，使,,且对任意有。下面分两种情况讨论：⑴如果，则在上是常数，所以对有，既内任意一点都可以作为，使⑵如果＜，由条件有在上两个端点与的函数值与不能同时一个取最大值一个取最小值，既在开区间内必定至少存在一点，函数在点取最大值或最小值，所以在点必取局部极值，由费马定理，有()=0证法二：分三种情况讨论⑴,（是常数）图3.1.2（a）中,中任何一点都满足定理的要求。14新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应

7、用数学专业毕业论文⑵图3.1.2（b）,(c)中,对于中某些，有＞。根据最大最小值定理，在区间中有最大值。因为，所以函数一定是在区间中某一点达到最大值。因此在点有极大值。由在点可微的，根据费马定理可知⑶图3.1.2(c),(d)中,对于中某些有＜。根据最大最小值定理,在区间中有最小值。因为，所以函数一定是在区间中某一点达到最小值。因此在点有极大值。由在点可微的，根据费马定理可知。3.2拉格朗日（Lagrange）中值定理的证明证法一：构造函数构造辅助函数.其中.根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道

8、在闭区间上是连续的，在开区间内是可导的，并且还有，所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数在开区间内至少存在一点，使得.证法二：行列式法构造辅助函数=，则=-+14新疆师范大学数学科学学院2014届数学与应用数学专业毕业论文由此可得在闭区间上连续。++==-==。由此可得在开区间内可导。又由=，==可得.综上所述，可知满足罗尔中值定理的条件，则至少存在一点使得故证法三：积分法把需证之式变式对应改写成(把换成)证明上述方程在内存在根，将上式左边