数学毕业论文-微分中值定理的证明及应用

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1、学年论文题目：微分中值定理的证明及应用学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学学生姓名：***学号：*************指导教师：***微分中值定理的证明及应用***摘要：微分中值定理是数学分析中很重要的基本定理,在数学分析中有着广泛的应用.它是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数研究函数在某点的局部性质和在某个区间上的整体性质的重要工具.利用微分中值定理可以论证方程的根的存在问题、方程根的个数问题以及根的存在区间问题，也经常用于证明一些含有导数的等式.微分中值定理是罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中

2、值定理的统称，它是微分中值定理学中重要的理论基础.拉格朗日中值定理可视为中心定理，以它为中心展开，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特值，而柯西中值定理可视为拉格朗日中值定理在应用上的推广.关键词：罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理证明应用Abstract:thedifferentialmeanvaluetheoreminmathematicalanalysisisveryimportantbasictheoreminthemathematicalanalysis,iswidelyused.Itisacomm

3、unicationbridgebetweenafunctionanditsderivative,istheapplicationofderivativeoffunctionatacertainpointofthelocalnatureandinacertainintervalontheoverallpropertiesoftheimportanttools.Theuseofdifferentialmeanvaluetheoremcanbeprovedequationfortherootoftheproblem,the

4、problemofthenumberofrootsofequationsandexistenceofrootintervalproblems,arealsofrequentlyusedtoprovesomecontainingderivativeequation.ThedifferentialmeanvaluetheoremistheRollemeanvaluetheorem,Lagrangemeanvaluetheorem,Cauchymeanvaluetheoremofdifferentialmeanvaluet

5、heoremcollectively,itisofimportanttheoreticalbasis.Lagrangemeanvaluetheoremcanberegardedasthecenterinthecenterofitsexpansiontheorem,Rollemeanvaluetheorem,Lagrangemeanvaluetheoremisaspecialvalue,andtheCauchymeanvaluetheoremcanberegardedastheLagrangemeanvaluetheo

6、reminapplicationpromotion.Keywords:RollemeanvaluetheoremLagrangemeanvaluetheoremCauchymeanvaluetheoremProveApplication微分中值定理是数学分析中很重要的定理，它是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的统称，微分中值定理在数学分析中有广泛的应用.一般教科书中都是通过构造辅助函数，利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的.下面我将利用不同于教科书的方法来证明这三个中值定理，并列举每个中值定

7、理的应用.一罗尔中值定理的证明和应用1罗尔中值定理若函数满足如下条件：（i）在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间内(a,b)可导；(iii)，则在（a,b）内至少存在一点，使得.2罗尔中值定理的证明（1）预备知识和两个引理定义1　闭区间[a,b]的闭子区间族S称为[a,b]的一个完全覆盖,是指对任意x∈[a,b],存在δx>0,使得[a,b]的每个含有x且长度小于δx的闭子区间都属于S.引理1　若S是闭区间[a,b]的一个完全覆盖,则S包含[a,b]的一个划分,即存在a=x0

8、xk-1,xk](i=1,2,⋯,n)都属于S.证明:用反证法.设S不包含[a,b]的任何划分,则通过对[a,b]重复使用二等分法可得[a,b]的闭子区间列{In},使得InIn+k(n=1,2,⋯),

9、In

10、→0(n→∞),且S不包含任何一个In的任何一个划分,其中

11、In

12、代表区间In的长度.由闭区间套定理,存在唯一的x∈In(n=1,2,⋯