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《积分中值定理的简单应用 数学毕业论文》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、目录摘要1关键词1Abstract2Keywords21引言22准备知识23在应用积分中值定理时应注意以下几点34积分中值定理的简单应用44.1在力学中的应用44.2确定定积分的符号54.3求含有定积分的极限64.4估计定积分74.5证明积分不等式84.6判断某些点的存在问题94.7求与有关收敛有关的问题1011积分中值定理的简单应用摘要:本文综合归纳了积分中值定理在力学、确定定积分符号、求含有定积分的极限、估计定积分、证明积分不等式、判断某些点的存在问题及求与收敛有关问题的应用.关键词:积分第一中值定理;推广的积分中值定理;估计定积分Theapplicationaboutin
2、termediatevaluetheoremofintegralAbstract:Thispaperreviewsandsummarizestheapplicationofstationaryfunctionaltheoryinintegration,mainlyregardingtothefieldofmachanics,determiningthesignsfordefiniteintegrals,evaluatingthelimitofthedediniteintegral,estimatingthedefiniteintegral,evidencingthedefini
3、teintegralinequality,judgingtheexistproblemsrelatedtoitandfindingsolutiontoconvergenceproblem.Keywords:Intermediatevaluetheoremofintegral;Extensionintermediatevaluetheoremofintegral;Estimatedefiniteintegral1引言积分中值定理是数学分析中一个基本定理之一,同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,它在数学很多方面都有十分重要的作用.为简单起见,文中就积分第
4、一中值定理以及推广的积分第一中值定理的应用进行讨论.111准备知识定理2.1[1](积分第一中值定理)若在区间[a,b]上连续,则在(a,b)内至少存在一点使得定理2.2[1](推广的积分第一中值定理)若在上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得,2在应用积分中值定理时应注意以下几点(1)在应用定理2.1中要注意被积函数在区间上连续这一条件,否则结论不成立.例如:显然在处间断,由于=0但在上,,所以,对任何都不能使11(2)在应用定理2.2中在上不变号这个条件也不能去掉例如:令由于但所以不存在使1积分中值定理的简单应用1.1在力学中的应用(1)求平均速度设速度函数在时间区间
5、内连续,根据定理2.1,有由力学知识知,物体的位移,则即就是物体的平均速度.例1当物体做匀变速直线运动时,即时内的平均速度:11所以这个结果说明,只有当速度函数对时间均匀变化时,平均速度等于内始、末速度的算术平均值.(2)求对空间累积的平均作用力设力在位置区间内连续,根据定积分中值定理,有相对位移的平均作用力为当与位置坐标无确定函数关系时,利用动能定理可得当与变量有确定函数关系时,可直接求出平均作用力.例2弹簧振子的作用力为,那么振子所受的平均作用力是:计算得,即有线性关系时,平均作用力等于质点始、末位置所受力的算术平均值.111.1确定定积分的符号定积分的几何意义是求去边多边
6、形的面积,如能知道它的符号对我们解很多题有很大的帮助.下面来看几个实例.例3确定的符号解原式====()其中=例4确定的符号解原式===由定理2.1得=>0其中例5确定符号解原式====>0其中07、来看几个实例.例8试估计的值解由定理2.1得==其中,.从而得所以例9试估计的值解因为在上连续,在内可导,且在内无解,即,等号仅在时成立.故在内严格单调增,即所以由积分第一中值定理有111.1证明积分不等式含定积分式的极限的不等式的证明,关键是去掉定积分号,积分中值定理和推广的积分中值定理都有这个功能.下面来看几个实例.例10设在[a,b]上连续,单调增加,证明:证明因为单调增加所以例11证明证明本题等价于在区间上求函数的最大值和最小值,令,得驻点.比较,,知为在上的最小值,而为在上的最大值