全国统考2022版高考数学大一轮复习第3章导数及其应用第3讲导数的综合应用1备考试题文含解析20210327147.docx

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1、优选第三章　导数及其应用第三讲　导数的综合应用拓展变式1.[2018全国卷Ⅰ,21,12分]已知函数f(x)=1x-x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)-f(x2)x1-x2

2、f(x)

3、≤338.(3)设n∈N*,证明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n4n.3.[2017全国卷Ⅲ,21,12分]已知函数f(x)=

4、x-1-alnx.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+12)(1+122)…(1+12n)

5、线互相平行,证明:x1+x2>4.答案第三章　导数及其应用第三讲　导数的综合应用1.(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2.①若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.②若a>2,令f'(x)=0,得x=a-a2-42或x=a+a2-42.7/7优选当x∈(0,a-a2-42)∪(a+a2-42,+∞)时,f'(x)<0;当x∈(a-a2-42,a+a2-42)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a-a2-42)和(a+a

6、2-42,+∞)上单调递减,在(a-a2-42,a+a2-42)上单调递增.(2)由(1)知,若f(x)存在两个极值点,则a>2.因为f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.因为f(x1)-f(x2)x1-x2=-1x1x2-1+alnx1-lnx2x1-x2=-2+alnx1-lnx2x1-x2=-2+a-2lnx21x2-x2,所以f(x1)-f(x2)x1-x2

7、上单调递减,又g(1)=0,所以当x∈(1,+∞)时,g(x)<0.所以1x2-x2+2lnx2<0,即f(x1)-f(x2)x1-x20;当x∈(π3,2π3)时,f'(x)<0.所以f(x)在区间(0,π3),(2π3,π)上单调递增,在区间(π3,2π3)上单调递减.(2)由已知知f(0)=f(π)=0,由(1)知,f(x)在

8、区间[0,π]上的最大值为f(π3)=338,最小值为f(2π3)=-338.因为f(x+π)=sin2(x+π)sin(2x+2π)=sin2xsin2x=f(x),7/7优选所以f(x)是周期为π的周期函数,故

9、f(x)

10、≤338.(3)由(2)得

11、sin2xsin2x

12、≤338,

13、sin22xsin4x

14、≤338,…,

15、sin22n-1xsin2nx

16、≤338,所以

17、sin2xsin32xsin34x…sin32n-1xsin2nx

18、≤(338)n,所以

19、sin3xsin32x…sin32nx

20、≤(338)n

21、sinxsin22nx

22、

23、≤(338)n,即

24、sin3xsin32x…sin32nx

25、≤(32)3n,所以sin2xsin22x·…·sin22nx≤[(32)3n]23=3n4n.3.(1)f(x)的定义域为(0,+∞).①若a≤0,因为f(12)=-12+aln2<0,所以不满足题意.②若a>0,由f'(x)=1-ax=x-ax知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.故x=a是f(x)在(0,+∞)内的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)

26、≥0.故a=1.(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-lnx>0.令x=1+12n,则ln(1+12n)<12n.从而ln(1+12)+ln(1+122)+…+ln(1+