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《2020_2021学年新教材高中数学第五章数列5.1.2数列中的递推学案含解析新人教B版选择性必修第三册20210326287.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考5.1.2 数列中的递推必备知识·素养奠基1.数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?提示:不同点相同点通项公式可根据某项的序号,直接用代入法求出该项都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值逐项求出数列的项,直至求出所有的项2.数列的前n项和(1)定义:一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.(2)关系:a
2、n=1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)递推公式不能用来表示数列.( )(2)所有的数列都有递推公式.( )(3)由公式an+1=an-2(n≥1)可写出数列{an}的所有项.( )(4)若数列{an}满足an+1=an,则该数列是常数列.( )-11-/11高考提示:(1)×.递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)×.并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.(3)×.还需知道数列中至少一项的值.(4)√.该数列每一项都相同.2
3、.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则a3的值为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.由a1=1,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4.3.已知数列{an}满足a1<0,=2(n∈N+),则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”). 【解析】由已知a1<0,an+1=2an(n∈N+),得an<0(n∈N+).又an+1-an=2an-an=an<0,所以数列{an}是递减数列.答案:递减关键能力·素养形成类型一由递推公式写数列的项【典例】1.数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1
4、(n∈N+),那么a4的值为()A.4B.8C.15D.312.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=________. 3.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N+);(2)a1=1,an+1=(n∈N+);(3)a1=3,an+1=3an-2(n∈N+).-11-/11高考【思维·引】1.由递推公式弄清相邻两项之间的关系,依次代入n=1,2,3,计算即可.2.由递推公式弄清相邻三项之间的关系,依次代入n=3,4,5计算即可.3.写出数列的前
5、几项,归纳写出通项公式.【解析】1.选C.因为数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+),所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7,a4=2a3+1=14+1=15.2.由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,a5=a4+a3=8.答案:83.(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所以an=(n-1)2.(2)因为a1=1,a2=,a3==,a4=,a5==,所以an=.(3)因为a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,a3=19=1+2×32,a4=55=1+2×33,a5=163=
6、1+2×34,所以an=1+2×3n-1.【内化·悟】由递推公式写出通项公式的步骤是什么?提示:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.(3)归纳总结写出一个通项公式.【类题·通】-11-/11高考由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.【习练·破】设数列
7、{an}满足写出这个数列的前五项.【解析】据题意可知:a1=1,a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=,a5=1+=.类型二由递推公式求通项公式角度1 累加法【典例】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求数列的通项公式an.【思维·引】将递推公式整理为an+1-an=f(n),累加求通项公式.【解析】an+1-an=ln=ln(1+n)-lnn,a1=2,a2-a1=ln2,a3-a2=ln3-ln2,a4-a3=ln4-ln3,…an-an-1=lnn-ln(n-1)(n≥2),以上各式相加得an=2+ln2+(ln3-ln2)+…+[lnn-
8、ln(n-
