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《2020_2021学年高中数学第五章数列5.1.2数列中的递推课件新人教B版选择性必修第三册20201217192.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.1.2数列中的递推激趣诱思知识点拨斐波那契,意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部,其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》.他在书中提出了著名的兔子繁殖问题:如果每对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄),而子兔在出生后第三个月里就又能生一对子兔.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子?激趣诱思知识点拨一、数列的递推关系如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).名师点析通项公式与递推公式的区别与联
2、系类别区别联系通项公式an是序号n的函数式an=f(n)都是给出数列的方法,都可求出数列中任意一项递推公式已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式激趣诱思知识点拨微思考所有的数列都有递推公式吗?提示:递推公式是给出数列的一种重要方法,但并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.激趣诱思知识点拨微练习已知数列{an}的首项a1=1,且an=3an-1+1(n≥2),则a4为()A.13B.15C.3
3、0D.40答案:D激趣诱思知识点拨二、数列的前n项和一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.名师点析由数列的前n项和Sn求通项an激趣诱思知识点拨微练习已知数列{an}的前n项和Sn,求数列的通项公式.(1)Sn=(-1)n+1·n;(2)Sn=2n2+n+3.解:(1)由Sn=(-1)n+1·n知,当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n+1(2n-1).又当n=1时,a1=(-1)1+1×1=1,
4、适合上式,∴an=(-1)n+1(2n-1).(2)由Sn=2n2+n+3知:当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+n+3)-[2(n-1)2+(n-1)+3]=4n-1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测由递推关系写出数列的项例1已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出.(1)写出此数列的前5项;(2)通过公式bn=构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)∵an=an-1+an-
5、2(n≥3),且a1=1,a2=2,∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算.(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如
6、an+1=探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=给出,试写出这个数列的前5项.探究一探究二探究三素养形成当堂检测例2(1)已知a1=1,an+1-an=2,求数列{an}的通项公式.(2)已知a1=1,an+1=2an,求数列{an}的通项公式.思路分析递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系,可将递推公式转化为通项公式进行研究.解:(1)(方法一:累加法)∵a1=1,an+1-an=2,∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-
7、an-1=2,将这些式子的两边分别相加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1),即an-a1=2(n-1).又a1=1,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.(方法二:迭代法)an=an-1+1×2=an-2+2×2=…=a1+(n-1)×2=2n-1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测又a1=1=20,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.(方法二:迭代法)an=2an-1=22an-2=23an-3=…=2n-1·a1=2n-1,即数列{an}的通项公式为an
8、=2n-1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟由递推公式求通项公式的方法(1)归纳法一般是根据递推公式先写出前几项,然后进行归纳猜想n与an间的内在规律,但此方法不严密,有时易发生错误.(2)累加法当an-an-1=f(n)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累加来求通项公式an
