2020_2021学年新教材高中数学第五章数列5.4数列的应用学案含解析新人教B版选择性必修第三册202103151131.doc

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1、高考5.4　数列的应用最新课程标准1.掌握等差数列与等比数列通项公式及前n项和公式(重点)2．能运用等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式解决一些简单的实际问题.[教材要点]知识点　[基础自测]1．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为(　　)A．6里B．12里C．24里D．48里2

2、．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　)A．300米B．299米C．199米D．166米高考3．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．4．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．题型一　等比数列的应用例1　借贷10000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1

3、.016≈1.061,1.015≈1.051)?方法归纳解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．跟踪训练1　一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？高考题型二　等差数列的应用例2　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部

4、决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？方法归纳建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．跟踪训练2　甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达

5、对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？高考题型三　数列求和例3　(1)已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.(2)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1.①求数列{an}的通项公式；②令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.方法归纳数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法

6、求解．一般常见的求和方法有：(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n项和公式)；(2)分组求和法；(3)错位相减法；(4)倒序相加法；(5)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；形如an＝(k为非零常数)型化为an＝＝；(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．提醒：求和抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．高考跟踪训练3　已知正项数列{an}中，a1＝1，点(

7、，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设＝，求{}的前n项和Tn.5．4　数列的应用新知初探·自主学习[基础自测]1．解析：记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比为的等比数列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×＝12(里)．故选B.答案：B2．解析：小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．答案：A3．解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管

8、数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．高考∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．答案：104．解析：由an＋1－an＝3n－n，得an