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1、专题一数列-5-5【知识框架】-5-5【知识要点11一、数列的概念1.数列是按一定顺序排列的一列数，记作ai,a2,a3……an,……简记｛an｝.2.数列｛an｝的第n项an与项数n的关系若用一个公式an=f（n）给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。3.如果已知数列｛an｝的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an-i（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an=f（an-1）或an=f（an-1,an-2）,那么这个式子叫做数列｛an｝的递推公式.4.数列可以看做定义域为N*（
2、或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。二、数列的表示方法：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。三、数列的分类1.按照数列的项数分：有穷数列、无穷数歹U。2.按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。3.从函数角度考虑分：（考点）①递增数列②递减数列③摆动数列④常数数列⑤有界数列对于任何对于任何例如:1,例如：6,存在正数nCN+,均有an+1>annCN+,均有an+13、 6,6,6,6,6…M,使an4、an
5、>M四、an与Sn的关系:（考点）2.an=4(nFLSn-Sn-1(n>2)n1.Sn=a〔+a2+a3+…+an=a,i1-5【例题1】已知数列｛an｝是递增数列，其通项公式为an=n2+入n(n=1,2,3…)，则实数入的取值范围［解析］:;数列｛an｝的通项公式为an=n2+入n(n=1,2,3…)数列是递增数列an+i-an=(n+1)2+入(n+1-n2-入n=2n+1+入＞0恒成立,「2n
6、+1+入的最小值是3+入，3+入＞0.,•入＞3实数入的取值范围是(-3,+8)【例题2】数列｛an｝的通项公式为an=3n2-28n,则数列各项中最小项是(B)A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项228［解析1］:an=f(n尸3n2-28n,f(n)是一兀二次函数，其图像开口向上，有最低点，最低点是——6由于n€N+,故取n=4和n=5代入，得到a4=-64,a5=-65,故选择B［解析2］:设an为数列的最小项，则有…2531解得：一n—66
7、'an>an-1-anWan+1故n=5代入化
8、简得到r3n2-28n>3(n-1)2-28(n-1)I3n2-28n<3(n+1)2-28(n+1)【练习1】在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x的值为(D)A.10B.11C.12D.13【练习2】数列｛an｝的前n项和Sn=n2-4n+1,则an--2(n=1)an寸2n-5(n>2)【知识要点2等差数列】1.定义：如果数列｛an｝从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即an-an-1=d(nCN+,且n＞2,或
9、者an+1-an=d(nCN+)2.通项公式：an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d(公式的变形)an=an+b其中a=d,b=a1-d3.前n项和公式：Snn(aianj.snna1n(n-1)d(公式的变形)Sn=An2+Bn其中A=dB=a1-22224.性质：(1)公式变形⑵如果A=a+b,那么a叫做a和b的等差中项.2(3)若｛an｝为等差数列，且有k+l=m+n,则ak+a
10、=am+an(4)若｛an｝,｛bn｝为等差数列则｛pan+qbn｝是等差数列，其中p,q均为常数(5)
11、若｛an｝为等差数列，则ak,ak+m,ak+2m,...(k,m?N*)组成公差为md的等差数列.(6)若Sm,S2m,S3m分别为｛an｝的前n项，前2m项，前3m项的和，则SmSm-SmSm-$m成等差数列(7)若｛an｝设等差数列，则｛&｝是等差数列，其首项与｛an｝首项相同，公差是｛an｝公差的-n2(7)非零等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为2n,则S偶-Sw=nd,S--an-SWan1U禺n右项数为2n-1,贝US偶=(n-1)an,$奇二门2门，备n-15.判断：①定义法：②中项
12、法:an+1-an=d(nCN+)2an+1=an+an+2*｛an｝为等差数列。③通项公式法：an=an+b(a,b为常数)④前n项和公式法：Sn=An2+Bn(A,B为常数)-5【例题1】已知｛an｝是公差为1的等差数列，Sn为｛an｝的前n项和，若S84s4,则aio(B)(A)172/、19(B)—2(C)10(D)12n(n-1).［解析］:Snna〔d2d=1.1.S8=8a1+28S4=4a1+6-519S8=4S4a1=0.5an=a1+(n-1)da
