高考数学数列专题复习121

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1、中学教育研发网（www.book678.com）　　　　　　　　　　　　　　　　博学而笃志　切问而近思2.2.1数列的递推公式学案●知识梳理1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列.（1）数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中an是数列的第n项.（2）可视数列为特殊函数，它的定义域是正自然数集的子集（必须连续），因此研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.2.通项公式如果数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表

2、达，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为an=f（n）.并非每一个数列都可以写出通项公式，有些数列的通项公式也并非是唯一的.3.数列的前n项和数列{an}的前n项之和，叫做数列的前n项和，常用Sn表示.Sn与通项an的基本关系是：an=Sn=a1+a2+…+an.4.数列的分类（1）按项分类有穷数列:项数有限；无穷数列:项数无限.（2）按an的增减性分类递增数列：对于任何n∈N*，均有an+1＞an；递减数列：对于任何n∈N*，均有an+1＜an；摆动数列：例如:－1，1，－1，1，…；常数数列：例如：6，6，6，6，…；有界数列：存在正数M使

3、an

4、≤M，n∈N*；无界数

5、列：对于任何正数M，总有项an使得

6、an

7、＞M.5.递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系写出数列.●点击双基1.数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5等于A.B.C.D.解析一：令n=2、3、4、5，分别求出a3=，a5=，∴a3+a5=.解析二：当n≥2时，a1·a2·a3·…·an=n2.当n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1=（n－1）2.两式相除an=（）2，北京海淀区新街口外大街19号京师大厦共4页第4页邮箱：@qq.com中学教育研发网（www.book678.co

8、m）　　　　　　　　　　　　　　　　博学而笃志　切问而近思∴a3=，a5=.∴a3+a5=.答案：A2.已知数列{an}中，a1=1，a2=3，an=an－1+（n≥3），则a5等于A.B.C.4D.5解析：令n=3，4，5，求a5即可.答案：A3.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足关系式Sn=（21n－n2－5）（n=1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是A.5、6月B.6、7月C.7、8月D.8、9月解法一：由Sn解出an=（－n2+15n－9），再解不等式（－n2+15n－9）＞1.5，得

9、6＜n＜9.解法二：将选项中的月份代入计算验证.答案：C4.已知an=，且数列{an}共有100项，则此数列中最大项为第____________项，最小项为第___________________项.解析：an==1+，又44＜＜45，－＞0，故第45项最大，第44项最小.答案：4544●典例剖析【例1】在数列{an}中，a1=1，an+1=，求an.剖析：将递推关系式变形，观察其规律.解：原式可化为－=n，∴－=1，－=2，－=3，…，－=n－1.相加得－=1+2+…+（n－1），北京海淀区新街口外大街19号京师大厦共4页第4页邮箱：@qq.com中学教育研发网（www.boo

10、k678.com）　　　　　　　　　　　　　　　　博学而笃志　切问而近思∴an=.评析：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律.【例2】有一数列｛an｝，a1＝a，由递推公式an＋1＝，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.剖析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：∵a1＝a，a

11、n＋1＝，∴a2＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝.观察规律：an＝形式，其中x与n的关系可由n＝1，2，3，4得出x＝2n－1.而y比x小1，∴an＝.评述：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.思考讨论请同学总结解探索性问题的一般思路.【例3】已知数列{an}的通项公式an=cn+，且a2=，a4=，求a10.剖析：要求a10，只需求出c、d即可.解：由题意知解得