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1、特征值特征向量的应用1)求方阵的高次幕一般说，求矩阵的高次幕比较困难，但若矩阵A可以对角化，即存在可逆矩阵P使1.P-AP=diag(i,『JLn)=A.其中兀，%,1儿儿是A的全部特征值.且A=PAP,，则对任意正整数k有Ak=(PAP。)k=(PAP-PAP-
2、
3、
4、PAPj1)=PAkP」.所以可通过A的相似对角阵来求An0例1作为计算矩阵高次幕的一个实例，考察如下问题：设某城市共有30万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：(1)在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9万人
5、从事工业，6万人经商；(2)在从农人员中，每年约有20%改为从工，10%改为经商；(3)在从工人员中，每年约有20%改为从农，10%改为经商;(4)在从商人员中，每年约有10%改为从农,10%改为从工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多之后，从事各业人员总数之发展趋势。解:若用3维向量Xi表示第i年后从事这三种职业的人员总数，则已知彳5、Xo=9，而欲求XX2并考察在n一日大n的发展趋势，引进3阶矩阵A=[a包j]用以刻画从事这三种职业人员间的转移，例如:a23=0.1表明每年有10%的从精品资料工人员改去
6、经商。于是有0.70.20.1A=0.20.70.1,由矩阵乘法得0.10.10.8_’12.9、X1=ATX0=AX0=19.9,X2=AX1=A2X0’11.73、10.23<8-04>所以Xn=AXn'=AnX°要分析Xn就要计算A的n次幕An,可先将A对角化0.7-儿0.20.1即A—九E=0.20.7—九0.1=(1-Z)(0.7-£)(0.5")0.10.10.8—九特征值为1=1,2=0.7,，3=0.5分别求出对应的特征向量q1,q2,q3并令Q=[q1,q2,q3],则有A=QBQ1从而有An=QBQ/，
7、再由Xn=AnX0,B=一10：000.700【00.5,Bn一10-000.7n00〕00.5n可知n一00一1日由n将趋于0：0010，故知An将趋于Q0-0010Q」，因而0Xn将趋于一确定常量X*,因而X亦必趋于X*,由Xn=AXn，知X*必满足X*=AX*,故X*是矩阵A属于特征值4=1的特征向量，X*t=,t+t+t,均为=3=30,t=10,照次规律转移，多年之后,从事这三种职业的人数将趋于相等10万人。2求方阵A的多项式的行列式的值kk1设n阶方阵A可对角化，即存在可逆矩阵P使A=PaP一,其中精品资料A=
8、diag(兀，九2JHA),及5Ml4是A的全部特征值.因此对方阵A的多项式f(A)=amAm+
9、
10、
11、+aiA+a°E,有f(A)=P(am「「
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14、aja°E)P」.即f(A)
15、=amAm十
16、
17、l+a1A+a()E
18、=]P(a^Xm+
19、
20、
21、十aiA十a0E)P；=amAm+
22、
23、
24、+aiA+a°E：=diag(f(一),f(一)J
25、I,f(?-n))=f(")f('2)111f('n).例1设n阶实对称矩阵A满足A2=A,且A的秩为r,试求行列式的值。解：设AX=KX,X半0,是对应于特征值九的特征向量，因为A2=A,则九
26、X=AX=AX=儿X,从而有(九-九)X=0,因为Xw0所以九(九-1)=0,即九=1或0,又因为A是实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵,A的秩为r,故存在可逆矩阵P,使得P,AP=0=B，其中Er是r阶单位矩阵，从而2E-A=2PP」-PBP,=2E-B=2"3由特征值与特征向量反求矩阵若矩阵A可对角化，即存在可逆矩阵P使P-1AP=B,其中B为对角矩阵，则A=PBP4例1设3阶实对称矩阵A的特征值为%=-1,%=%=1，对应于％的特征向量为P1=1，求矩阵Ao解:因为A是实对称矩阵，所以A可以对角化，即A有三个线性无关的
27、特征向量，精品资料，x〔设对应于九2=1=1的特征向量为P=X2，它应与特征向量P1正交kx3」T即[P,Pi]=0Xi+X2+X3=0,该齐次方程组的基础解系为P2=0「0、P3=1，它们即是对应于九2=九3=1的特征向量01取P=(P1,P2,P3)=10100I11,B=0-0则P,AP=B,于是010
28、「11.一._A=PBP=101010I]04判断矩阵是否相似0001/21/210010100=00-101—01/2-1/2__0-10_例1下述矩阵是否相似20021A1=020,A2=02003_p00201
29、1,A3=0203_p03_解：矩阵A1,A2,A3的特征值都是1=2(二重)，九2=3，其中A1已是对角阵，所以只需判断A2,A3是否可对角化先考查A2,,对于特征值九1=2，解齐次线性方程组(2E-A2)X=0得其基础解系为町=0，由于九1=2是A2的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故A2不可对
