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1、特征值特征向量的应用1）求方阵的高次幂一般说,求矩阵的高次幂比较困难,但若矩阵A可以对角化,即存在可逆矩阵使.其中是的全部特征值.且，则对任意正整数有.所以可通过A的相似对角阵来求A。例1作为计算矩阵高次幂的一个实例,考察如下问题:设某城市共有30万人从事农、工、商工作,假定这个总人数在若干年内保持不变,而社会调查表明:(1)在这30万就业人员中,目前约有15万人从事农业,9万人从事工业,6万人经商;(2)在从农人员中,每年约有20%改为从工,10%改为经商;(3)在从工人员中,每年约有20%改为从农,10%改为经商;(4)在从商人员中,每年约有10%改为从农,10%改为从工。现欲预测一
2、、二年后从事各业人员的人数,以及经过多之后,从事各业人员总数之发展趋势。解:若用3维向量X表示第i年后从事这三种职业的人员总数,则已知X=,而欲求X,X并考察在n→∞时X的发展趋势,引进3阶矩阵A=[a]用以刻画从事这三种职业人员间的转移,例如:a=0.1表明每年有10%的从工人员改去经商。于是有A=,由矩阵乘法得X=AX=AX=,X2=AX=AX=所以X=AX=AX要分析X就要计算A的n次幂A,可先将A对角化即==(1-)(0.7-)(0.5-)特征值为=1,=0.7,=0.5分别求出对应的特征向量q,q,q并令Q=[q,q,q],则有A=QBQ从而有A=QBQ,再由X=AX，B=,B
3、可知n→∞时B将趋于,故知A将趋于QQ,因而X将趋于一确定常量X*,因而X亦必趋于X*,由X=AX知X*必满足X*=AX*,故X*是矩阵A属于特征值=1的特征向量,X*=t=,t+t+t=3=30,t=10,照次规律转移,多年之后,从事这三种职业的人数将趋于相等,均为10万人。2求方阵的多项式的行列式的值设阶方阵可对角化，即存在可逆矩阵使,其中，是的全部特征值.因此对方阵的多项式，有.即.例1设n阶实对称矩阵A满足A=A,且A的秩为r,试求行列式的值。解:设AX=X,X≠0,是对应于特征值的特征向量,因为A=A,则X=AX=AX=X,从而有(-)X=0,因为X≠0所以(-1)=0,即=1
4、或0,又因为A是实对称矩阵,所以A相似于对角矩阵,A的秩为r,故存在可逆矩阵P,使得PAP==B,其中E是r阶单位矩阵,从而===23由特征值与特征向量反求矩阵若矩阵A可对角化,即存在可逆矩阵P使PAP=B,其中B为对角矩阵,则A=PBP例1设3阶实对称矩阵A的特征值为=-1,==1,对应于的特征向量为P=,求矩阵A。解:因为A是实对称矩阵,所以A可以对角化,即A有三个线性无关的特征向量,设对应于==1的特征向量为P=,它应与特征向量P正交,即[P,P]=0X+X+X=0,该齐次方程组的基础解系为P=,P=,它们即是对应于==1的特征向量。取P=(P,P,P)=,B=则PAP=B,于是A
5、=PBP==4判断矩阵是否相似例1下述矩阵是否相似A=,A=,A=解:矩阵A,A,A的特征值都是=2(二重),=3,其中A已是对角阵,所以只需判断A,A是否可对角化先考查A,,对于特征值=2,解齐次线性方程组(2E-A)X=0得其基础解系为α=,由于=2是A2的二重特征值,却只对应于一个特征向量,故A不可对角化或者说A与A不相似。再考查A,对于特征值=2,解齐次线性方程组(2E-A,)X=0得基础解系;对于特征值2=3解齐次线性方程组(3E-A,)X=0,得基础解系由于A,有三个线性无关的特征向量,所以A,可对角化,即A,与A相似。5求特殊矩阵的特征值例1设A为阶实对称矩阵,且A=2A,
6、又r(A)=r
