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1、特征值特征向量的应用1）求方阵的高次幂一般说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵J可以对角化，即存在可逆矩阵P使P~lAP=diag（K…，2"）=八.其中乂,又，…，人，是4的全部特征值.HA=PP~},则对任意正整数/:有Ak=（PAP_,/=（尸八/^尸八/^…尸八尸-^尸人…人所以可通过?}的相似对角阵来求/T。例1作为计算矩阵高次幂的一个实例，考察如下问题：设某城市共有30万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：（1）在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9万人从事工业,6万人经商；（2）在从农人员中，每年约有20%改为从工
2、，10%改为经商；（3）在从工人员中，每年约有20%改为从农，10%改为经商；（4）在从商人员中，每年约有10%改为从农，10%改为从工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多之后，从事各业人员总数之发展趋势。解:若用3维向量V表示第i年后从事这三种职业的人员总数，则已知=9，而欲求XX2并考察在n->->时妒的发展趋势，引进3阶矩阵用以刻画从事这三种职业人员间的转移，例如:a23=0.1表明每年有10%'0.70.20.1"的从工人员改去经商。于是有/）=0.20.70.1,由矩阵乘法得0.10.10.8<12.9、'11.73、X1=ata/Q=ax°=19.9
3、fX2=AX[=A2X°=10.237.2k8.04所以I。=4Xn-{=An要分析r'就要计算J的n次幂/T,可先将J对角化0.7-2即
4、A-2£
5、=0.2().10.2OJ-A().10.10.1=(1-2)(0.7-A)(0.5-A)().8-/I特征值为4=1,A2=0.7,A3=0.5'100'可知11->^>时，将趋于000，故知将趋于Q00010000000Q_I,因而J"将0分别求出对应的特征向量qpq2,q3并令Q=[q,,q2,q3],则存"100'100_从而有/I"二QBQ，再由尸=AflX%00.7000.7”0000.5000.5”趙于一确定常量/次
6、，因而J"一1亦必趋于X,由JM=A¥"―1知私必满足X^AX^故权是矩阵J属于特征值冬=1的特征向量，X=1t=tn=3=30,t=10,照次规律转移，多年之后，从事这三种职业的人数将趋于相等,均为10万人。2求方阵A的多项式的行列式的值设h阶方阵4可对角化，即存在可逆矩阵P使其中八，為，…，人），A,，岑，…，是A的全部特征值.因此对方阵A的多项式f(A)=amAmH-axA--a^E,有即
7、，⑷卜+…W+“0£
8、二
9、P(amMn+…+屮八+a,E)P~x=anAm+…+乂A+“。£
10、=/(••，/(4))1例1设n阶实对称矩阵d满足d2且的秩为r,试求行列式的值。解
11、：设/JT=2XX0,是对应于特征值/I的特征向量，因为/!2=A则从而有（乂2-乂）J=0,因为J关0所以Z（A-l）=0,即义二1或0,又因为/（是实对称矩阵，所以/I相似于对角矩阵，的秩为r,故存在可逆、二B，其中尽是r阶单位矩阵，从而
12、2£-/1=2PP~'-PBP-'^E-B=2n~r3由特征值与特征向量反求矩阵若矩阵/I可对角化，即存在可逆矩阵P其中方为对角矩阵，则J:PBP例1设3阶实对称矩阵的特征值为乂=-1，22=岑=1，对应于'的特征向量为/1,求矩阵儿lb解:因为/（是实对称矩阵，所以/I可以对角化，即/!有三个线性无关的特征向量，ZA设对应于A2=A3
13、=1的待征向量为片x2，它应与待征向量,正交，即[AA]=OXi+X^X^O,该齐次方程组的基础解系为戸2=0,Ar0'P3=1，它们即是对应于A2=/l3=l的特征向量。—010""-10o'取p^p'，p2，戶3)=101,B=01010-100I则PAbB，于是A^PBP110010-10001/21/21001010000-10101/2-1/20-10-1004判断矩阵是否相似例1下述矩阵是否相似'200"•210_"2or1=020,A2=0213=020003003003解：矩阵J2,J3的特征值都是A,=2(二重)，A2=3,其中义己是对角阵，所以只需判断/I2
14、，Z3是否可对角化先考查/I2,，对于特征值4=2，解齐次线性方程组(2£-/I2)J=0得其基础解系为af()，由于4=2是J2的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故＞4A2不可对角化或者说/!2与/1,不相似。再考查/I3，对于特征值人=2,解齐次线性方程组(2£-/I3,)J=0得基础解系;对于特征值2=3解齐次线性方程组(3FJp)J=O,得基础解系由于3，有三个线性无关的特征向量，所以3，可对角化，即3，与/I,相似。5求特殊矩阵的特征值例1设/I为阶实对称矩阵，且/I2=2A,
