随机微分方程在人口预测中应用

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1、随机微分方程在人口预测中应用　　【摘要】本文对中国总人口数量构建随机Logistic模型，结合历史数据估计了模型参数，利用该模型对中国总人口数量进行了预测，预测结果较好。【关键词】随机微分方程极大似然估计随机Logistic模型人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一。认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提之一。假设人口增长服从Logistic模型：（1）其中假设其中人口增长率受到某些随机因素的影响，满足，其中代表标准的布朗运动，是白噪声，是白噪声强度。那么人口增长过程可以用如下随机

2、微分方程来描述：（2）1参数估计李群[1]在已知或者可以估计出的条件下，给出了和的极大似然估计（取情形）：（3）其中：，，。3其中环境最大容量是常数，于是假设不受随机扰动的影响，利用常微分方程估算出来的的值可以用于随机情形。在这里直接对（2）式所对应的（1）式对用数据拟合。选取1990-2013年全国人口总数（万）来估计参数，数据[2]如表1：由赵静[3]拟合可得环境容量=143654.342，=0.0102150184598，=0.06633254401474。2模拟仿真将所得模型离散化，时间间隔取1年，得到

3、：，其中为标准布朗运动在一个单位时间的增量。通过编写Matlab[4]程序将参数带入模型进行计算可以计算出人口的拟合值：从表2可以看到误差百分比（绝对值）都大概在0.2%左右，并且计算得到其平均值是0.2056%，模型拟合的效果非常好，利用此模型来对未来人口数量进行预测（如表1）。图形中用’+’表示真实的人口数据，连线表示从1991年到2013年的拟合值，后面的’o’表示对未来10年（2014年到2023年）的预测值（见图1）。3结论与展望3通过所给数据和图形的结果可以看出，由于人口会经常受到环境白噪声的干扰，

4、随机Logistic模型的拟合效果相当好，同时也可以看出随着时间的推移和人口的增长，人口的自然增长率呈现出负指数的下降趋势，并逐渐趋近于零，人口在十年后趋近于13.9557亿左右。而加入了随机扰动之后的Logistic模型对于预测有了更好的效果，通过检验可以看出模型的拟合效果非常显著，同时可以看出人口在二十年之后会向14.1亿左右趋近并得到平衡。参考文献：[1]李群.一类随机微分方程的参数估计[M].应用数学.2012，25（4）：771-776.[2]http：//www.stats.gov.cn/tjsj/

5、.[3]赵静等.数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社，2000.[4]DesmondJ.HighamAnAlgorithmicIntroductiontoNumericalSimulationofStochasticDifferentialEquations.SIAMREVIEW.2001，43（3）：525-546.3