2021届新课改地区高三数学专题复习第05讲 基本不等式及应用（解析版）.docx

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1、第5讲：基本不等式及应用一、课程标准1.探索并了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.二、基础知识回顾1、基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2、算术平均数与几何平均数设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3、利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y

2、时，xy有最大值是4、基本不等式的两种常用变形形式(1)ab≤2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．5、几个重要的结论(1)≥2.(2)＋≥2(ab>0)．(3)≤≤(a>0，b>0)．三、自主热身、归纳总结1、若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　)A．9　　　　　　　　　B．1817/17C．36D．81【答案】A【解析】因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．2．设a>0，则9a＋的最小值为(　　)A．4B．5C．6D．7【答

3、案】C　【解析】因为a>0，所以9a＋≥2＝6，当且仅当9a＝，即a＝时，9a＋取得最小值6.故选C.3、设a，b为正数，且，则（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】设a，b为正数，且，当且仅当时取等号，故选C。4、已知正实数a，b满足，则ab的最小值为（）A．1B．C．2D．4【答案】C【解析】,当且仅当时取等号，，，故ab的最小值为2，故选C。5、若正数满足，则的最小值为（　　）A.B.C.D.3【答案】A17/17【解析】由题意，因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A。6、下列不等式的证明过程正确的是（

4、　　）A．若a＜0，b＜0，则ba+ab≥2ba⋅ab=2B．若x，y∈R*，则lgx+lgy≥2lgxlgyC．若x为负实数，则x+4x≥−2x⋅4x=−4D．若x为负实数，则2x+2−x≥22x⋅2−x≥2【答案】AD．【解析】由a＜0，b＜0可得ba＞0，ab＞0，则由基本不等式可得，ba+ab≥2ba⋅ab=2，故A正确；x，y∈R时，，有可能为0或负数，不符合基本不等式的条件，B错误；若x＜0，则x+4x＜0，C错误；x＜0时，2x＞0，由基本不等式可得，2x+2﹣x≥2，故D正确．7、设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b

5、）＝1，那么（　　）A．a+b有最小值2（2+1）B．a+b有最大值（2+1）2C．ab有最大值3+22．D．ab有最小值3+22．【答案】AD．【解析】根据a＞1，b＞1，即可得出a+b≥2ab，从而得出ab−2ab≥1，进而得出ab≥2+1，从而得出ab有最小值3+22；同样的方法可得出ab≤(a+b2)2，从而得出（a+b）2﹣4（a+b）≥4，进而解出a+b≥2(2+1)，即得出a+b的最小值为2(2+1)．∵a＞1，b＞1，∴a+b≥2ab，当a＝b时取等号，∴1=ab−(a+b)≤ab−2ab，解得ab≥2+1，∴ab

6、≥(2+1)2=3+22，∴ab有最小值3+22；17/17∵ab≤(a+b2)2，当a＝b时取等号，∴1=ab−(a+b)≤(a+b2)2−(a+b)，∴（a+b）2﹣4（a+b）≥4，∴[（a+b）﹣2]2≥8，解得a+b−2≥22，即a+b≥2(2+1)，∴a+b有最小值2(2+1)．8、已知a>0,b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．【答案】2　【解析】、利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时，取等号．9、一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则

7、这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．【答案】15　【解析】设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．10．(一题两空)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________．【答案】2　【解析】∵a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵＋＝·＝≥·＝，当且仅当a＝

8、b时等号成立，∴＋的最小值为.一、例题选讲考点一、运用基本不等式求函数的最值例1、　(1)已知0