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时间:2021-05-10
《2021届新课改地区高三数学专题复习第15讲 函数与方程(解析版).docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第15讲:函数与方程一、课程标准1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系.2.根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法.二、基础知识回顾1、函数的零点(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使方程f(x)=0的实数x称为函数y=f(x)的零点.(2)方程的根与函数零点的关系:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.所以函数y=f(x)
2、有零点等价于函数y=f(x)的图像与x轴有交点,也等价于方程f(x)=0有实根.(3)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的图像是一条连续的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时c就是方程f(x)=0的根.但反之,不成立.2、二分法对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法
3、.求方程f(x)=0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值.3、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像交点(x1,0),_(x2,0)(x1,0)无交点零点个数21016/164、有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.一、自主热身、归纳总结1、函数
4、f(x)=-的零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】 f(x)是增函数,又f(0)=-1,f(1)=,∴f(0)f(1)<0,∴f(x)有且只有一个零点.故选B.2、已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x12345f(x)-4-2147在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为( )A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】B【解析】B 由所给的函数值的表格可以看出,x=2与x=3这两个
5、数字对应的函数值的符号不同,即f(2)·f(3)<0,所以函数在(2,3)内有零点.故选B.3、设f(x)=lnx+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为( )A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】B【解析】B ∵f(1)=ln1+1-2=-1<0,f(2)=ln2>0,∴f(1)·f(2)<0,∵函数f(x)=lnx+x-2的图象是连续的,且为增函数,∴f(x)的零点所在的区间是(1,2).16/164、(多选)给出以下四个方程,其中有唯一解的是( )A.lnx
6、=1-xB.ex=C.2-x2=lg
7、x
8、D.cosx=
9、x
10、+1【答案】ABD【解析】 对于A,设f(x)=lnx+x-1,易知y=f(x)为增函数,又f(1)=0,故lnx=1-x有唯一解,符合;对于B,设g(x)=ex-,易知y=g(x)为增函数,又g=-2<0,g(1)=e-1>0,由函数零点存在定理可得ex=有唯一解,符合;对于C,设h(x)=x2+lgx-2,易知y=h(x)为增函数,由h(1)=1-2<0,h(2)=2+lg2>0,由函数零点存在定理可得h(x)=x2+lgx-2有唯一零点,又H
11、(x)=2-x2-lg
12、x
13、为偶函数,则2-x2=lg
14、x
15、有两个解,不符合;对于D,因为cosx∈[-1,1],
16、x
17、+1≥1,当且仅当x=0时cosx=x-1,即cosx=
18、x
19、+1有唯一解,符合.5、若函数f(x)=log2x+x-k(k∈Z)在区间(2,3)内有零点,则k=________.【答案】4【解析】因函数f(x)在区间(2,3)内递增,则f(2)f(3)<0,即(log22+2-k)·(log23+3-k)<0,整理得(3-k)·(log23+3-k)<0,解得320、3+log23<5.因为k∈Z,所以k=4.6、已知函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上至少有一个零点,则实数a的取值范围是______.【答案】a≥.【解析】 函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上至少有一个零点,等价于函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上有一个零点,或两个零点(包括两个相等的零点).①当函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上有一个零点时
20、3+log23<5.因为k∈Z,所以k=4.6、已知函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上至少有一个零点,则实数a的取值范围是______.【答案】a≥.【解析】 函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上至少有一个零点,等价于函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上有一个零点,或两个零点(包括两个相等的零点).①当函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上有一个零点时
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