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时间:2021-05-10
《2021届新课改地区高三数学专题复习第29讲 平面向量的概念与线性运算(解析版).docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第29讲:平面向量的概念与线性运算一、课程标准1.了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示.2.掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.4.了解向量的线性运算性质及其几何意义.二、基础知识回顾知识梳理1.向量的有关概念(1)零向量:长度为0的向量叫零向量,其方向是不确定的.(2)平行(共线)向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.我们规定零向量与任一向量平行.(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量
2、.(5)相反向量:与向量a长度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量.2.向量的线性运算(1)向量加法满足交换律a+b=b+a,结合律(a+b)+c=a+(b+c).向量加法可以使用三角形法则,平行四边形法则.(2)向量的数乘:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度和方向规定如下:①
3、λa
4、=
5、λ
6、
7、a
8、;②当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反;当a=0时,λa=0;当λ=0时,λa=0.(3)实数与向量的运算律:设λ,μ∈R,a,b是向量,则有:①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+
9、b)=λa+λb.3.向量共线定理:如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,15/15那么有且只有一个实数λ,使b=λa.一、自主热身、归纳总结1、在下列结论中,正确的是()A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合B.模相等的两个平行向量是相等向量C.若a和b都是单位向量,则a=bD.两个相等向量的模相等【答案】D【解析】 由平面向量的基本概念可得,D是正确的.2、对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分
10、也不必要条件【答案】A【解析】 若a+b=0,则a=-b,∴a∥b.若a∥b,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.故选A.3、已知=4e1+2e2,=2e1+te2,若M、P、Q三点共线,则t=()A.1 B.2 C.4 D.-1【答案】A【解析】 ∵M、P、Q三点共线,则与共线,∴=λ,即4e1+2e2=λ(2e1+te2),得解得t=1.故选A.4、(2019秋•如皋市期末)在梯形中,,,,分别是,的中点,与交于,设,,则下列结论正确的是 A.B.C.D.【答案】.【解析】由题意可得,,故正确;,故正确;,故错误;1
11、5/15,故正确.故选:.5、在△ABC中,==,则∠BAC=_____.【答案】60°【解析】 ∵=,∴==,得△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.6、已知P是△ABC所在平面内的一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在( )A.△ABC的内部B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上【答案】B【解析】由=λ+得-=λ,=λ.则,为共线向量,又,有一个公共点P,所以C,P,A三点共线,即点P在直线AC上.一、例题选讲考点一、平面向量的有关概念例1、(2019年徐州开学初考试)给出下列四个命题:①若
12、a
13、=
14、b
15、,
16、则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是
17、a
18、=
19、b
20、且a∥b.其中正确命题的序号是( )A.②③B.①②C.③④D.②④【答案】A【解析】①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②正确.∵=,∴
21、
22、=
23、
24、且∥,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则
25、
26、=
27、
28、,∥且,方向相同,因此=.15/15③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c
29、的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使
30、a
31、=
32、b
33、,也不能得到a=b,故
34、a
35、=
36、b
37、且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.变式1、设a0为单位向量,下列命题中:①若a为平面内的某个向量,则a=
38、a
39、·a0;②若a与a0平行,则a=
40、a
41、a0;③若a与a0平行且
42、a
43、=1,则a=a0,假命题的个数是( )A.0 B.1C.2D.3【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量,a与
44、a
45、a0的模相同,但方向不一定相同,
46、故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-
47、a
48、a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.变式2、给出下列命题:①两个具
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