2021届新课改地区高三数学专题复习第31讲 平面向量的数量积（解析版）.docx

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1、第31讲：平面向量的数量积一、课程标准1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.二、基础知识回顾1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．当

2、θ＝0时，两向量a，b共线且同向；当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把数量

3、a

4、

5、b

6、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、·cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零．3．平面向量数量积的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a，b的夹角，则

11、b

12、cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，

13、a

14、cosθ叫做向量a在向量b的方向上的投影．(2)a·b的几何意义13/13数量积a·b等于a的长度

15、a

16、与b在

17、a的方向上的投影

18、b

19、cosθ的乘积．　　　　　　　　　4．向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．5．平面向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝

20、a

21、cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b

22、＝

23、a

24、

25、b

26、；当a与b反向时，a·b＝－

27、a

28、

29、b

30、.特别地，a·a＝

31、a

32、2或

33、a

34、＝.(4)cosθ＝.(5)

35、a·b

36、≤

37、a

38、

39、b

40、.6．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则(1)

41、a

42、＝；　　(2)a·b＝x1x2＋y1y2；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0;_(4)cosθ＝.一、自主热身、归纳总结1、已知直角坐标平面内，＝(－1，8)，＝(－4，1)，＝(1，3)，则△ABC是________．()A.直角三角形　B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】　＝(5，2)

43、，＝(2，－5)，∵＝＝且·＝0，∴BC＝AC且BC⊥AC，∴△ABC是等腰直角三角形．故选D.2、已知向量a，b满足

44、a

45、＝1，

46、b

47、＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(2a－b)等于(　　)A.2B.－1C.－6D.－1813/13【答案】　D【解析】由题意知cos〈a，b〉＝sin＝sin＝－sin＝－，所以a·b＝

48、a

49、

50、b

51、cos〈a，b〉＝1×2×＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.3、已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(a＋c)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)A.B．C.D.【答案】　D【解析】设c＝(m，n)，

52、则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，因为(a＋c)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，即3m＋2n＝－7，又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，联立解得所以c＝.4、(2019·贵州省适应性考试)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则·(＋)＝(　　)A．8B．12C．16D．20【答案】　D【解析】法一：设＝a，＝b，则a·b＝0，a2＝16，＝＋＝b＋a，＝(＋)＝＝a＋b，所以·(＋)＝a·＝a·＝a2＋a·b＝a2＝20，故选D.13/13法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设A

53、D＝t(t>0)，则B(4,0)，C(2，t)，E，所以·(＋)＝(4,0)·＝(4,0)·＝20，故选D.6、在▱ABCD中，

54、

55、＝8，

56、

57、＝6，N为DC的中点，＝2，则·等于()A.48　　　B.36　　　C.24　D.12【答案】C【解析】　·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24.7、已知两个单位向量a，b满足

58、a＋b

59、＝

60、b

61、，则a与b的夹角为________．【答案】【解析】设a与b的夹角为α，∵a，b是单位向量，

62、a＋b

63、＝

64、b

65、，∴

66、a＋b

67、2＝()2，∴a2＋b2＋2a·b＝3，∴2cosα＝1，