高三高考复习数学专题学案《平面向量》——《平面向量的数量积》

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1、第3课时平面向量的数量积基础过关1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的．当θ＝0°时，与；当θ＝180°时，与；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积（或内积），记作·，即·＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1,y1)，＝(x2,y2)，则·＝．3．向量的数量积的几何意义：

2、

3、cosθ叫做向量在方向上的投影(θ是向量与的夹角)．·的几何意义是，数量·等于．4．向量数量积的性质：设、都是非零

4、向量，是单位向量，θ是与的夹角．⑴·＝·＝⑵⊥⑶当与同向时，·＝；当与反向时，·＝．⑷cosθ＝．⑸

5、·

6、≤5．向量数量积的运算律：⑴·＝；⑵(λ)·＝＝·(λ)⑶(＋)·＝典型例题例1.已知

7、

8、＝4，

9、

10、＝5，且与的夹角为60°，求：(2＋3)·(3－2)．解:(2＋3)(3－2)＝－4变式训练1.已知

11、

12、＝3，

13、

14、＝4，

15、＋

16、＝5，求

17、2－3

18、的值．解:例2.已知向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－．(1)若a⊥b，求；(2)求

19、＋

20、的最大值．解：(1)若，则即而，所以(2)当时，的最大值为变式训练2：已知，，其中．(1)求证：与互相垂直；(

21、2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．证明：与互相垂直（2）,,,,而，例3.已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，判断△ABC是哪类三角形．解:设BC的中点为D，则()()＝02·＝0BC⊥AD△ABC是等腰三角形.变式训练3：若，则△ABC的形状是.解:直角三角形.提示：例4.已知向量＝(cosθ,sinθ)和＝(－sinθ,cosθ)θ∈(π,2π)且

22、

23、＝，求cos()的值.解:＝(cosθ－sinθ＋,cosθ＋sinθ)由已知(cosθ－sinθ＋)2＋(cosθ＋sinθ)2＝化简：cos又cos2∵θ∈(π

24、,2π)∴cos<0∴cos＝－变式训练4.平面向量，若存在不同时为的实数和，使,且，试求函数关系式.解：由得小结归纳1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．2．注意·与ab的区别．·＝0≠＞＝，或＝．3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合．