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1、高考专题31平面向量的数量积专题知识梳理1.两个向量的夹角定义X围已知两个__非零__向量a,b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角(如图)向量夹角θ的X围是__0°≤θ≤180°__,当θ=__0°或180°__时,两向量共线,当θ=__90°__时,两向量垂直,记作a⊥b 2.向量数量积的定义(1)向量的夹角:已知两个非零向量a,b,作=a,=b,则∠AOB称为向量a和向量b的夹角,记作θ.(2)数量积的定义:
2、a
3、
4、b
5、cosθ叫做向量a,b的数量积(内积),记作a·b,即a·b=__
6、
7、a
8、
9、b
10、cosθ__.(3)数量积的几何意义:向量a和向量b在a方向的投影的乘积.3.向量数量积的性质(1)如果e是单位向量,则a·e=e·a=
11、a
12、cosθ.(2)a⊥b⇒a·b=0且a·b=0⇒__a⊥b__.高考(3)a·a=
13、a
14、2,
15、a
16、=____.(4)cosθ=____.(5)
17、a·b
18、≤
19、a
20、
21、b
22、.4.数量积的运算律(1)交换律a·b=__b·a__.(2)分配律(a+b)·c=__a·c+b·c__.(3)对λ∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).5.数量积的坐标运算设a=
23、(a1,a2),b=(b1,b2).(1)a·b=__a1b1+a2b2__.(2)a⊥b⇔__a·b=0__(a,b为非零向量),即a1b1+a2b2=0.(3)
24、a
25、=____.(4)cosθ=____.6.结论(1)a、b、c是非零向量且a·c=b·c,不能得到a=b,如图所示.高考(2)(a·b)c≠a(b·c).因为(a·b)c与c共线,而a(b·c)与a共线.一般情况下,a与c不一定共线,所以(a·b)c与a(b·c)不相等.7.公式(1)(a±b)2=__a2±2a·b+b2__.(2)(a+
26、b)·(a-b)=__a2-b2__.(3)(a+b+c)2=__a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c__.考点探究考向1 向量的数量积运算【例】(2018·某某模拟)如图所示,在平行四边形中,为垂足,且,则______________.【解析】如图,延长,过作延长线的垂线,所以在的方向投影为,又,所以。高考题组训练1.在中,,,.若,,且,则的值为___________.【解析】2.在边长为1的等边△ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a=________.【解析】依题意有a·b
27、+b·c+c·a=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120°=++=-.考向2平面向量的夹角问题【例】(1)已知是互相垂直的单位向量,若与的夹角为,则实数的值是.高考(2)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若,则▲.【解析】(1),,,,解得:.(2)题组训练1.若向量=,=,且,的夹角为钝角,则的取值X围是_________.【解析】,的夹角为钝角,高考解得或(1)又由共线且反向可得(2)由(1),(2)得的X围是2.
28、已知
29、
30、=1,
31、
32、=,·=0,点C在∠AOB内,且与的夹角为30°,设=m+n(m,n∈R),则的值为____.【解析】∵·=0,∴⊥,以OA为x轴,OB为y轴建立坐标系,=(1,0),=(0,),=m+n=(m,n).∵tan30°==,∴m=3n,即=3.3.已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m=________.【解析】∵a·b=(1,)·(3,m)=3+m,又a·b=××cos,∴3+m=××cos,∴m=.考向3平面向量数量积的综合应用【例】(2019·某某模拟)已
33、知.(1)若,求角的值;高考(2)求的最小值.【解析】(1)因为,且所以即,又所以,(2)因为,所以因为,所以,故当时,取到最小值题组训练1.已知向量=(1,1),向量与向量夹角为,且·=-1,(1)求向量;(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为,向量=(cosA,2cos2),其中A、C为DABC的内角,且A、B、C依次成等差数列,试求
34、+
35、的取值X围。【解析】(1)设=(x,y)则由<,>=得:cos<,>==①由·=-1得x+y=-1②联立①②两式得或∴=(0,-1)或(-1,0)高考(2)∵<,>=
36、得·=0若=(1,0)则·=-1¹0故¹(-1,0)∴=(0,-1)∵2B=A+C,A+B+C=pÞB=∴C=+=(cosA,2cos2)=(cosA,cosC)∴
37、+
38、=======∵039、+
40、Î()高考2.(2018·某某月考)在平面直角坐标系中,设向量,,其中为的两个内角.(1)若,求证:为直角;(2)若,求证:为锐角.【解析】(1)易得,因为,所以,即.因为,且