2021届新课改地区高三数学专题复习第30讲 平面向量的基本定理与坐标运算（解析版）.docx

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1、第30讲：平面向量的基本定理与坐标运算一、课程标准1.了解平面向量的基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件二、.基础知识回顾1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算

2、及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

3、a

4、＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

5、

6、＝.4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[常用结论与微点提醒]1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点

7、、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.12/12一、自主热身、归纳总结1、设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A.e1＋e2和e1－e2B.3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2D.e1和e1＋e2【答案】B【解析】　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选B.2、已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)，若(a＋kb)∥c，则实

8、数k的值为()A.－　B.　C.2　D.【答案】B【解析】　∵a＝(2，－1)，b＝(1，1)，∴a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，又c＝(－5，1)，由(a＋kb)∥c，得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝.故选B.3、已知A(1，－3)和B(8，－1)，如果点C(2a－1，a＋2)在直线AB上，则a＝____.【答案】－13.【解析】　∵＝(7，2)，＝(2a－9，a＋3)，且∥，∴有7×(a＋3)＝2×(2a－9)，解得a＝－13.4、设a，b是两个不共线的非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝()A.4　B.－4　C.±4　　D.0【答案】C

9、【解析】　由题意知8a＋kb与ka＋2b为非零向量且共线，故存在实数λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)，则8＝λk，k＝2λ，得λ＝±2，k＝±4.故选C.5、在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P为CO的中点，＋＝λ，则λ＝____.【答案】【解析】　∵ABCD为平行四边形，∴＋＝＝2，又＝，得＋＝已知＋＝λ，故λ＝.6、已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．12/12(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．【解析】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2

10、b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．因为A，B，C三点共线，所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.一、例题选讲考点一　平面向量基本定理的应用例1、(2019·河北衡水中学调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若＝2，＝3，＝λ－μ(λ，μ∈R)，则μ－λ＝(　　)A.－B.1

11、C.D.－3【答案】A【解析】(1)＝λ－μ＝λ－μ(＋)＝(λ－μ)－μ＝2(λ－μ)－3μ.因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴μ－λ＝－.变式1、(1)如图(1)，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝____.12/12图(1)　图(2)(2)如图(2)，在△ABC中，BO为边AC上的中线，＝2，设∥，若＝＋λ(λ∈R)，则λ的值为____.【答案】（1）（2）【解析】　(1)由题意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，∴λ＋μ