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《《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、《流体力学》连续方程推导的巧方法施春华，高庆九，李忠贤（南京信息工程大学大气科学学院，江苏南京210044）摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点采用欧拉控制体方法，把“质量通量”整体作为一物理量，从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单，有助于学生理解。关键词：连续方程；柱坐标系；球坐标系在大学《流体力学》教学中，连续方程是最基本的内容之一，在很多相关专业课程中得到广泛应用。相对而言，在直角坐标系中的连续方程形式简单，也易于理解，但在柱坐标系和球坐标系中，连续方程的形式却
2、相对复杂，理解相对困难。目前，很多参考书[123]对于后两类连续方程要么没有给出具体推导，要么推导过程较为复杂，使数理基础较薄弱的学生难以理解，在此，笔者结合教学中的实际经验，演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。1连续方程的一般算子形式流体运动的连续方程，是表示流体运动和其质量分布的关系式。在拉格朗日方法中，某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化，但它始终由这些流点构成，因此它的质量不变。由此可见，连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”（流体）中的应用。一般的拉格朗日方法考虑，某个别流体
3、微团（质量体）在运动过程中，其随体密度的变化，必然与其体积变化趋势相反，如体积膨胀，它的密度减小，体积收缩，则密度增大。其算子形式的通用表达式[1]亨--PV・V山（1）一般的欧拉方法考虑，对于某固定位置的空间单位体积元（控制体）来说,该体积元内单位时间的质量变化，与该体积元边界上的质量通量变化相联系，如质量往外流，它的密度减小，反之则增大。其算子形式的通用表达式[1]两种方法的区别：拉格朗日方法多从物理量的定义出发，模型简单容易理解，但数学解析在实际应用中有些困难；欧拉方法则通过适当的数学建模后，能在数学上给出方便的解析，有利于从数
4、学角度更好地理解概念。在直角坐标系中，通过建立三维空间微元控制体（图略，很多教科书都详细给出，且易于理解），很容易得到（2）式在三维直角坐标系下连续性微分方程的一般表达式2柱坐标系欧拉连续方程基于柱坐标系把“质量通量”整体作为一物理量的考虑，物理意义明确，数学理解简单的欧拉连续方程的推导见图1。囹1柱坐标系体和元AE5CDEFQH如图1所示，柱坐标系体积兀控制体ABCDEFGH径向方向r,圆周切向方向B，垂直方向乙径向速度Vr,圆周切向速度VB,垂直速度w,则径向线微元AB表达为dr,切向线微元AD表达为rd0,垂直微元GC为dz,体
5、积微元dV=rdOdrdz。由径向速度Vr垂直穿越面元ADHE和BCGF面积rd0z）所引起的质量通量均可表达为pVr*rd0dz,但r坐标值在两个面元处有差异。这使得质量通量沿径向r方向不尽相同c（Pvr°广就表达了质量通量在穿越面元ADHE和BCGF时沿径向r方向的梯度，乘以dndr后得它表示了径向速度Vr垂直穿越面元ADHE和BCGF后导致体积元ABCDEF2GH内质量通量的变化量（略去高阶小量，下同），即径向速度Vr引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。同理，由切向速度V0垂直穿越面元DCGH和ABFE面积rd0
6、d＞所引起的质量通量均可表达为pVedrdz,但0坐标值在两面元处不同，质量通量沿切向0方向的梯度描述为（pVedrdz）/0,而（（pVQdrdz）/0）d0则描述了切向速度V0垂直穿越面元DCGH和ABFE后导致体积元ABCDEF2GH内质量通量的变化量，即切向速度V0引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。同理，垂直速度w垂直穿越面元EFGH和ABCD面积rd0dr）所引起的质量通量均可表达为pwrd0dr,但z坐标值在两面元处不同，质量通量沿z方向的梯度描述为（pwrd0dr）/z,而((pwrd0dr)/z)dz
7、则描述了垂直速度ABCDEFGH内质量通量的变化量，即垂直速度的质量。该柱坐标中，流体所有运动可以分解为在时间净流出控制体ABCDEFGH的质量就表达为w垂直穿越面元EFGH和ABCD后导致体积元w引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出3个正交的方向r、B和z上运动,所以流体单位2^Pvr?d6d-^（Pvd/d-j=PivjrffldrJzdr+二dH+—Or7&，式中r、B和z相互独立，密度p则是空间的函数，体积微元dV=rd0drdz，故有cfPvjd^dldfPud/dzj小c'fftrCi'C（Pvrr）c）二-jd^
8、d?d-十〜jd^d/dz十可警』/山止二用C7.FCFdV对于该控制体单位时间的质量变化把流出控制体的方向作为正方向因此(4)，又可以描述为(p/t)dV,由于在质量通量的表达中，，和实际控制体内质量变化的符号相反，但
