柱坐标系和球坐标系(教师)

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1、7柱坐标系和球坐标系主备：审核：学习目标：1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式.学习重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系.学习难点：利用它们进行简单的数学应用.学习过程：一、课前准备阅读教材的内容，了解柱坐标系的定义,以及如何用柱坐标系描述空间中的点.并思考下面的问题：空间中的点的表示法是不是唯一的？到目前为止，你知道了几种表示空间一个点的位置的方法？答：不是唯一的.到目前为止，我们知道了三种表示空间点的位置的方法：空间直角坐标，柱坐标系，球坐标系.二

2、、新课导学：（一）新知：1.柱坐标系：（1）设是空间任意一点，在平面的射影为，用表示点在平面上的极坐标，点的位置可用有序数组表示.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组叫点的柱坐标，记作.其中，，.（2）柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.（3）空间点的直角坐标与柱坐标之间的变换公式为.2.球坐标系：（1）设是空间任意一点，连接，记，与轴正向所夹的角为.设在平面的射影为，4/4轴按逆时针方向旋转到时所转过的最小正角为.这样点的位置就可以用有序数组表示.空间的点与有序数组之间建立了一种对应关

3、系.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系).有序数组叫做点的球坐标，其中.（2）点球坐标与直角坐标的互化公式：①；②.（二）典型例题【例1】建立适当的球坐标系，分别表示棱长为的正方体的顶点.【解析】如图，建立球坐标系，则各个顶点的坐标分别为，，，，其中，为锐角，，，，.动动手：在例1中，建立适当的柱坐标系，写出各个顶点的柱坐标.【解析】如上图建立柱坐标系，则各个点的坐标如下：，，，，，，，.【例2】已知点的柱坐标是,的柱坐标是,求.【解析】点的柱坐标是转化为直角坐标为，即，点的柱坐标是转化为直角坐标为，即，所以，.4/4

4、动动手：在球坐标系中，求与两点间的距离.【解析】将球坐标化为直角坐标：，，，即的直角坐标为.将球坐标化为直角坐标：，，，即的直角坐标为.所以.三、总结提升：1．理解柱坐标系和球坐标系下各个量的几何意义，会在图中标出点的坐标.2．能够将柱坐标或球坐标转化为直角坐标，在直角坐标系中解决问题.四、反馈练习：1.在空间直角坐标系，已知点，则点关于原点对称的点的坐标，点关于轴对称的点的坐标.2.在以为极点的柱坐标系中，若点，则，面与半平面所成的角是.3.点的球坐标是，则它的直角坐标是.4.（1）球坐标满足方程的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐

5、标方程.（2）柱坐标满足方程的点所构成的图形是什么?【解析】(1)构成的图形是一个球面，球心在坐标系的原点，半径为，其直角坐标方程为.(2)图形是以为轴，横截面为圆（圆的半径为）的圆柱面.5.长方体的过一个顶点的三条棱的长分别为、、，建立适当的球坐标系，写出各个顶点的坐标.【解析】如图建立球坐标系，则各个点的坐标如下：，，，，4/4，，，.其中，为锐角.五、学后反思：4/4