2020-2021学年高二数学（理）下学期期中专项复习04 极坐标【知识梳理】.doc

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1、专题04极坐标【知识梳理】2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版）一、极坐标系的定义在平面上取一个定点，由点出发的一条射线、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点称为极点，称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段的长度和从到的角度(弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示).这两个实数组成的有序实数对称为点M的极坐标.称为极径，称为极角.要点诠释：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.图16-31

2、图16-32二、点的极坐标在极坐标系中，平面上任意一点P的位置可以由OP的长度和从Ox轴旋转到OP的角度来确定，（，）叫做点P的极坐标，叫做点P的极径，叫做点P的极角．极点的极坐标为（0，），其中可以取任何值．要点诠释：（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始边是极轴，它的终边随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位的数量；点M的极径表示点M与极点O的距离

3、OM

4、，因此≥0；但必要时，允许＜0．（2）在极坐标系中，与给定的极坐标（，）

5、相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是（，）（≠0），那么这一点也可以表示为（，）或（，）（其中n为整数）．一般情况下，我们取极径≥0，极角为0≤＜2（或－π＜0≤π）．如果我们规定＞0，0≤＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．（3）极坐标系内两点间的距离公式设极坐标系内两点，，则．特例：当，．三、极坐标与直角坐标的互化设为平面上的一点，其直角坐标为，极坐标为，由图16-31和图16-

6、32可知，下面的关系式成立:或（对也成立）.三、极坐标的几何意义——表示以为圆心，为半径的圆；——表示过原点(极点)倾斜角为的直线，为射线；表示以为圆心过点的圆.(可化直角坐标:.)要点诠释：由求时，不取负值；由确定时，根据点（x，y）所在的象限取正角．当x≠0时，角才能由按上述方法确定．当x=0时，tan没有意义，这时又分三种情况：（1）当x=0，y=0时，可取任何值；（2）当x=0，y＞0时，可取；（3）当x=0，y＜0时，可取．四、曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程的概念（1）一般地，在极坐标系中，

7、如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程称为曲线C的极坐标方程．在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x、y的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有、这两个变量的方程来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程．要点诠释：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线，设点P的一极坐标为，那么点P适合方程，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程了．所以在极坐标系内，确

8、定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可．2.求曲线极坐标方程的步骤．①建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点．②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式．③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．要点诠释：（1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径和极角之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等

9、来建立、之间的关系．（2）今后我们遇到的极坐标方程多是的形式，即是的一个函数．（3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程的图形的对称性：若，则相应图形关于极轴对称；若，则图形关于射线所在的直线对称；若，则图形关于极点O对称．3．圆的极坐标方程（1）圆心在极轴上且过极点的圆圆心在极轴上的点（a，0）处，且圆过极点O（如图所示）．P为圆与极轴的另一交点，为圆上的动点，连接OM和MP，由平面几何知识知OM⊥MP．在直角三角形OMP中，由三角知识可得．坐标满足此方程的点也在该圆上．因此，得该圆的方程为．也可以先写

10、出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程．如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a，0），半径为a，故圆的直角坐标方程为(x－a)2+y2=a2，即x2+y2=2ax．由坐标变换公式得，即．这样就得到前面推导出的极坐标方程．所以，方程就是圆上任意一点极坐标所满足的条件，另一方面，我们也可以验证，坐标适合方程的点都在这个圆上．（2）圆心在极点的圆如果已知⊙O的半径为r，我们可以以圆心为极点，以从圆心