拉格朗日乘数法在经济最优化中应用

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1、拉格朗日乘数法在经济最优化中应用　　摘要：高等数学在经济研究中应用越来越广泛，推动了经济学的快速发展。结合实例，对拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用进行探讨与研究。关键词：拉格朗日乘数法；经济；最优化；应用中图分类号：O172.1文献标志码：A文章编号：1673-291X（2013）28-0005-02在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法是以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。一、拉格朗日乘数法设二元函数f（x，y）和？渍（x，y）在区域D内有一阶连续偏导数，则求z=f（x，y）在D内满足条件

2、？渍（x，y）=0的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数L（x，y，λ）=f（x，y）+λ？渍（x，y）（其中λ为某一常数）的无条件极值问题。于是，求函数z=f（x，y）在条件？渍（x，y）=0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：（1）构造拉格朗日函数L（x，y，λ）=f（x，y）+λ？渍（x，y）其中λ为某一常数；（2）5由方程组Lx=fx（x，y）+λ？渍x（x，y）=0Ly=fy（x，y）+λ？渍y（x，y）=0Lλ=？渍（x，y）=0解出x，y，λ，其中x，y就是所求条件极值的可能的极值点。拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个

3、的情形。拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论。不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点（或最值点）。由于在经济学中都是具体的实际问题，比如，求产量最高、利润最大等，它们的最值是否存在是一目了然的，所以拉格朗日乘数法在经济最优化中有着广泛的应用。二、拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用实例实例1现在已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数是f（x，y）=100x3/4y1/4，每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元。该制造商的总预算是5000

4、0元。问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本，以使生产量最高。解这是个条件极值问题，求函数f（x，y）=100x3/4y1/4在条件150x+250y=50000下的最大值。令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+λ（50000-150x-250y），由方程组5Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Ly=25x3/4y-3/4-250λ=0Lλ=50000-150x-250y=0中的第一个方程解得λ=■x-1/4y1/4将其代入第二个方程中，得25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0在该式两边同乘x1/4y3/4有25x-1

5、25y=0即x=5y。将此结果代入方程组的第三个方程得x=250，y=50，即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余得部分作为资本投入，这时可获得最大产量f（250，50）=16719。实例2设某电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机的销售价格为p，销售量为x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测，销售量与销售价格为p之间有下面的关系：x=Me-ap（M>0，a>0）（1）其中M为市场最大需求量，a是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：c=c0-klnx（k>0，

6、x>1）（2）其中c0是只生产一台电视机时的成本，k是规模系数.根据上述条件，应如何确定电视机的售价p，才能使该厂获得最大利润？解5设厂家获得的利润u，为每台电视机售价为p，每台生产成本为c，销售量为x，则u=（p-c）x。于是问题化为利润函数u=（p-c）x在附加条件（1）、（2）下的极值问题。利用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数：L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）。（下转74页）（上接5页）令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0。将（1）代入（2

7、），得c=c0-k（lnM-ap）（3）由（1）及Lp=0知λa=-1即λ=-1/a（4）由Lc=0知x=μ即x/M=1。将（3）（4）（5）代入Lx=0，得p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0，由此得p*=■由问题本身可知最优价格必定存在，故这个p*就是电视机的最优价格。三、小结本文列举了拉格朗日乘数法在经济最优化中应用的两个实例。从中可以看出，在经济学中涉及到有约束条件的最值问题可以用拉格朗日乘数法来完成。总之，高等数学在经济研究中应用越来越广泛，推动了经济学的快速发展。参考文献：[1]吴赣昌.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，

8、2006：10.5[2]吴传生.经济数学（微积分）[M].北京：高等教育出版社，2003：6.[责任编辑吴高君]收稿日期：2013-08