2021届高三高考数学（艺术班）二轮复习大题专练六（立体几何）.docx

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1、大题专练六（立体几何）一、知识梳理1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

2、则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b3.直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，

3、则这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α5．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为6．空

4、间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝07．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围[0，π]求法cosθ＝cosβ＝直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a

5、，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝

6、cosβ

7、＝．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足

8、cosθ

9、＝

10、cos〈n1，n2〉

11、，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．8利用空间向量求距离(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则

12、AB

13、

14、＝

15、

16、＝.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为

17、

18、＝.1.如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，求DC1与平面D1EC所成的角的正弦值2.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：(1)PB∥平面EFG；(2)平面EFG∥平面PBC.　参考答案1.如图，以D为坐标

19、原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)，所以＝(0，3，1)，＝(1，1，－1)，＝(0，3，－1)．设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则即即取y＝1，得n＝(2，1，3)．因为cos〈，n〉＝＝＝，所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为2.　(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

20、Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．　法一：＝(0，1，0)，＝(1，2，－1)，　设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则n＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，因为＝(2，0，－2)，所以·n＝0，所以n⊥，因为PB⊄平面EFG，所以PB∥平面EFG.法二：＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)．设＝s＋t，即(2，0，－2)＝s(