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1、。第五节偏导数的应用ApplicationofPartialDerivative教学目的:会利用偏导数求空间曲线在某点的切线方程和法平面方程,会利用偏导数求曲面在某点的切平面方程和法线方程;理解二元函数极值的概念,熟练掌握二元函数极值与最大值、最小值的求法,会利用拉格朗日乘数法求条件极值.课题:偏导数的几何应用;多元函数极值;条件极值.教学重点:二元函数的极值与多元函数的条件极值教学难点:二元函数的极值教学方法:精讲:多元函数极值及拉格朗日乘数法;多练:二元函数求极值教学内容:一、偏导数的几何应
2、用1.空间曲线的切线和法平面设空间曲线L的参数方程为xx(t)yy(t)zz(t)假定x(t),y(t),z(t)均可导,x'(t0),y'(t0),z'(t0)不同时为零,曲线上对应于tt0及tt0t的点分别为M0(x0,y0,z0)和M(x0x,y0y,z0z).割线M0M的方程为xx0yy0zz0xyz当M沿着曲线L趋于M0时,割线的极限位置M0T是L在M0处的切线.上式分母同除以t得xx0yy0zz0xyzttt当t0(即MM0)时,对上式取极限,即得曲线在M0点的切线方程xx0yy0z
3、z0'''x(t0)y(t0)z(t0)向量T{x'(t0),y'(t0),z'(t0)}是切线M0T的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦.通过点M0与切线垂直的平面称为曲线在M0点的法平面.它是通过点M0(x0,y0,z0),以切线向量T为法向量的平面.因此,法平面方程为-可编辑修改-。x'(t0)(xx0)y'(t0)(yy0)z'(t0)(zz0)0【例1】求螺旋线xcost,ysint,zt在点(1,0,0)的切线及法平面方程.解点(1,0,0)对应的参数t0.
4、因为x'(t)sint,y'(t)cost,z'(t)1,所以切线向量T{x'(0),y'(0),z'(0)}{0,1,1},因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为x1y0z0011在点(1,0,0)处的法平面方程为0(x1)1(y0)1(z0)0即yz0【例2】求曲线ysin,x,上点0,处的切线和法平面方程.xz22解把x看作参数,此时曲线方程为xxysinxzx21x'x1,y'xcosxx1,z'x2在点,0,处的切线方程为2xy0z21112法平面方程为即2.曲面的切平面与法线(
5、x)(y0)1)0(z224x4y2z5设曲面S的方程为F(x,y,z)0,M0(x0,y0,z0)是曲面上的一点,假定函数F(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同时为零,设L是曲面S上过点M0的任意一条曲线,L的方程为xx(t),yy(t),zz(t),与点M0相对应的参数为t0,则曲线L在M0处的切线向量为T{x'(t0),y'(t0),z'(t0)}.因L在S上,故有F[x(t),y(t),z(t)]0此恒等式左端为复合函数,在tt0时的全导数为dFtt0Fx'(x0,y0,z0)x'(t
6、0)Fy'(x0,y0,z0)y'(t0)Fz'(x0,y0,z0)z'(t0)0dt记n{F'(x,y,z),F'(x,y,z),F'(x,y,z)},则Tn0,即n与T互相垂直.由于曲x000y000z000-可编辑修改-。线L是曲面上过M0的任意一条曲线,所以在曲面S上所有过M0点的曲线的切线都与同一向量n垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在M0处的切平面.向量n是切平面的法向量,称为曲面在M0处的法向量.切平面方程为Fx'(x0,y0,z0)(xx0)Fy'(x0,y0,
7、z0)(yy0)Fz'(x0,y0,z0)(zz0)0过点M0与切平面垂直的直线,称为曲面S在点M0处的法线,其方程为xx0yy0zz0Fx'(x0,y0z0)Fy'(x0,y0z0)Fz'(x0,y0z0)若曲面方程由zf(x,y)给出,则可令F(x,y,z)f(x,y,z)z0于是Fx'fx',Fy'fy',Fz'1这时曲面在M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为f'(x,y)(xx0)f'(x,y)(yy)(zz)0x00y0000法线方程为xx0yy0zz0fx'(x0,y0)fy'(
8、x0,y0)1【例3】求椭球面x23y22z26在点(1,1,1)处的切平面和法线方程.解设F(x,y,z)x23y22z26Fx'(x,y,z)2x,Fy'(x,y,z)6y,Fz'(x,y,z)4zFx'(1,1,1)2,Fy'(1,1,1)6,Fz'(1,1,1)4故在点(1,1,1)处椭球面的切平面方程为2(x1)6(y1)4(z1)0即x3y2z60法线方程为x1y1z1132【例4】求旋转抛物面zx2y2在点(1,1,2)处的切平面方程和法线方程.解由zx2y2得fx'(1,1)2x
