偏导数的应用

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1、第五节偏导数的应用ApplicationofPartialDerivative教学目的:会利用偏导数求空间曲线在某点的切线方程和法平面方程,会利用偏导数求曲面在某点的切平面方程和法线方程;理解二元函数极值的概念,熟练掌握二元函数极值与最大值、最小值的求法,会利用拉格朗日乘数法求条件极值.课题:偏导数的几何应用;多元函数极值;条件极值.教学重点:二元函数的极值与多元函数的条件极值教学难点:二元函数的极值教学方法:精讲:多元函数极值及拉格朗日乘数法;多练:二元函数求极值教学内容:一、偏导数的几何应用1.空间曲线的切线和法平面设空间曲线的参数方程为假定均可导,不同时为零,曲线上对应于及的点分别

2、为和.割线的方程为当沿着曲线趋于时,割线的极限位置是在处的切线.上式分母同除以得当(即)时,对上式取极限,即得曲线在点的切线方程向量是切线的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦.通过点与切线垂直的平面称为曲线在点的法平面.它是通过点,以切线向量为法向量的平面.因此,法平面方程为【例1】求螺旋线在点的切线及法平面方程.解点对应的参数.因为,所以切线向量,因此,曲线在点处的切线方程为在点处的法平面方程为即【例2】求曲线上点处的切线和法平面方程.解把看作参数,此时曲线方程为在点处的切线方程为法平面方程为即2.曲面的切平面与法线设曲面的方程为是曲面上的一点,假定函数的偏导

3、数在该点连续且不同时为零,设是曲面上过点的任意一条曲线,的方程为,与点相对应的参数为,则曲线在处的切线向量为.因在上,故有此恒等式左端为复合函数,在时的全导数为记,则,即与互相垂直.由于曲线是曲面上过的任意一条曲线,所以在曲面上所有过点的曲线的切线都与同一向量垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在处的切平面.向量是切平面的法向量,称为曲面在处的法向量.切平面方程为过点与切平面垂直的直线,称为曲面在点处的法线,其方程为若曲面方程由给出,则可令于是这时曲面在处的切平面方程为法线方程为【例3】求椭球面在点处的切平面和法线方程.解设故在点处椭球面的切平面方程为即法线方程为【例4】求

4、旋转抛物面在点处的切平面方程和法线方程.解由得切平面方程为即法线方程为二、多元函数极值1.二元函数的极值【例5】曲面在点有极小值.【例6】曲面在点有极大值.与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.定义1设函数在点的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点都有(或)则称函数在点有极大值(或极小值).而称点为函数的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.2.极值的检验法(1)一阶偏检验定理1(必要条件)设函数在点处有极大值,且在该点的偏导数存在,则必有.证明不妨设在点处有极大值,根据极值定义,对的某一邻域内的任一点,有在点的邻域内,也有,这表明一元函数

5、在处取得极大值.因此,有同理可证与一元函数类似,使一阶偏导数的点称为函数的驻点.由定理1及例5、例6可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点.(2)二阶偏检验定理2(充分条件)设函数在定义域内的一点处有二阶连续偏导数,且.记,则(1)当且时,函数在点处有极小值;当且时,函数在点处有极大值;(2)当时,函数在点处无极值;(3)当时,函数在点处可能有极值,也可能无极值.综上可得,具有连续二阶偏导数的函数,其极值求法如下:(1)先求出偏导数;(2)解方程组,求出定义域内全部驻点;(3)求出驻点处的二阶偏导数值:,确定的符号,并判断是否有极值,如果有,求出其极值.【例7】求函数

6、的极值.解先求偏导数解方程组,求得驻点为.在驻点处,,,于是不是函数的极值点.在驻点处,,且,所以点是函数的极小值点,为函数的极小值.3.最大值与最小值如果函数在有界闭区域上连续,则函数在上一定取得最大值和最小值.如果函数的最大值或最小值在区域的内部取得,则最大值点或最小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域上的最大值,最小值便是函数在闭区域上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻点,于是可以肯定驻点处的函数值便是函数的最大值或最小值.【例8】求函数在上的最大值.解

7、在内(),由解得驻点为.在的边界上()故函数在处有最大值.【例9】要做一容积为的无盖长方体铁皮容器,问如何设计最省材料?解所谓最省材料,即无盖长方体表面积最小.该容器的长、宽、高分别为，表面积为，则有消去，得表面积函数其定义域为由，求得驻点为.由于为开区域,且该问题必有最小值存在,于是必为的最小值点,此时,即长方体长、宽、高分别为,时,容器所需铁皮最少,其表面积为.【例10】某公司每周生产单位产品和单位产品,其成本为产品的单位售价分