《偏导数的应用》PPT课件

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1、主讲：贵州师大数计学院陈云坤《高等数学》——物理类专用第七章多元函数微分学二、方向导数第二节偏导数的应用三、二元函数的泰勒展示四、二元函数的极值一、几何应用复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因1、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.一、几何应用（1）.曲线方程为参数方程的情况切线方程此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0,则理解为分子为0.不全为0,因此

2、得法平面方程说明:若引进向量函数,则为r(t)的矢端曲线,处的导向量就是该点的切向量.例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解:由于对应的切向量为在,故（2）.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为则在点切线方程法平面方程有或也可表为法平面方程例2.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令则即切向量法平面方程即解法2.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量2、曲面的切

3、平面与法线设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.*证:在上,得令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面在点M的法向量法线方程切平面方程曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,切平面方程法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,例3.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:

4、所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令例4.确定正数使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)2.求曲线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此3.设f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为1.证明曲面与

5、定直线平行,证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题二、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故对于二元函数为,)的方向导数为向角特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为例3

6、.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数思考与练习1、设函数求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;曲线在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:则(96考研)三、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式记号(设下面涉及的偏导数连续):一般地,表示表示定理1.的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任一点,则有其中①②①称为f在点

7、(x0,y0)的n阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项.证:令则利用多元复合函数求导法则可得:一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.说明:(1)余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,则有(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上例1.求函数解:的三阶泰勒公式.因此,其中四、二元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有1、极

8、值的定义例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要