数列证明题型总结(教师版)附答案.docx

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1、一、解答题：1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.an(Ⅰ)设bn＝2n－1，证明：数列{bn}是等差数列；(Ⅱ)求数列{an}的前n项的和Sn.【答案】an＋1nan＋1－2ann(Ⅰ)因为bn＋1－bn＝n－a2＝122n－＝2n＝n12所以数列{bn}为等差数列(Ⅱ)因为bn＝b1＋(n－1)×1＝n所以an＝n·2n－1所以Sn＝1×20＋2×21＋⋯＋n×2n－12Sn＝1×21＋2×22＋⋯＋n×2n两式相减得Sn＝(n－1)·2n＋12．在数列{an}中，a1111＝，an＋1＝an＋n＋1.

2、222(Ⅰ)设b＝2a，证明：数列{b}是等差数列；nnnn(Ⅱ)求数列{a}的前n项和S.nn【答案】11(Ⅰ)由an＋1＝an＋n＋1，22得2n＋1n＋1nn＋1n＋1n＋1，a＝2ab＝b则{bn}是首项b1＝1，公差为1的等差数列．故bn＝n，an＝2nn.111＋⋯＋(n－1)×11n＋2×＋3×n1＋n×n(Ⅱ)S＝1×232222－2111111Sn＝1×2＋2×3＋3×4＋⋯＋(n－1)×n＋n×n＋1222222两式相减，得：11＋1＋1＋⋯＋1－nn＋2S＝222232n2n11（1－1n）n1n22＝

3、1－2n＋1＝1－2n－2n＋11－21/181nSn＝2－2n－1－2n3．数列{an}的各项均为正数，前n2*nnn项和为S，且满足4S＝(a＋1)(n∈N)．(Ⅰ)证明：数列{a}是等差数列，并求出其通项公式a；nn(Ⅱ)设bn＝an＋2an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(Ⅰ)n＝1时，4a＝(a＋1)22－2a＋1＝0，即a＝1?a11111n≥2时，4an＝4Sn－4Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝a2n－a2n－1＋2an－2an－122－2a－2a＝0－an－1?annn－1

4、?(an＋an－1)[(an－an－1)－2]＝0∵an>0∴an－an－1＝2故数列{an}是首项为a1＝1，公差为d＝2的等差数列，且an＝2n－1(n∈N*)(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn＝an＋2an＝(2n－1)＋22n－1∴Tn＝b1＋b2＋⋯＋bn＝(1＋21)＋(3＋23)＋⋯＋[(2n－1)＋22n－1]＝[1＋3＋⋯＋(2n－1)]＋(21＋23＋⋯＋22n－1)＝n2＋2（1－22n）＝22n＋1＋n2－2＝22n＋1＋3n2－2－433314．数列{an}的各项均为正数，前nnn*)．n项和为S，且满足2S＝a

5、＋1(n∈N(Ⅰ)证明：数列{a}是等差数列，并求出其通项公式a；nnn*)，求数列{b}的前n项和T.(Ⅱ)设b＝a·2(n∈Nnnnn【答案】(Ⅰ)由2Sn＝an＋1(n∈N*)可以得到4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)1＝(a12?a1211n＝1时，4a＋1)－2a＋1＝0，即a＝1n≥2时，4annn－1n＋1)2－(an－12＝4S－4S＝(a＋1)22＝an－an－1＋2an－2an－122?an－an－1－2an－2an－1＝0?(an＋an－1)[(an－an－1)－2]＝0∵an>0∴an－an－1＝2故

6、数列{an}是首项为a1＝1，公差为d＝2的等差数列，且an＝2n－1(n∈N*)2/18nnn＝(2n－1)·2n(Ⅱ)由(Ⅰ)知b＝a·212)＋⋯＋[(2n－3)n－1]＋n∴Tn＝(1·2)＋(3·2·2[(2n－1)·2]23nn＋1]则2Tn＝(1·2)＋(3·2)＋⋯＋[(2n－3)·2]＋[(2n－1)·2两式相减得：12nn＋1]－Tn＝(1·2)＋(2·2)＋⋯＋(2·2)－[(2n－1)·22（1－2n）＋1]＝2·－2－[(2n－1)·2n1－2n＋1－6＝(3－2n)·2∴Tn＝(2n－3)·2n＋

7、1＋6(或Tn＝(4n－6)·2n＋6)5．n32＋7*已知数列{an2n2n(n∈N)．}，其前n项和为S＝(Ⅰ)求a1，a2；(Ⅱ)求数列{a}的通项公式，并证明数列{a}是等差数列；nn(Ⅲ)如果数列{b}满足a＝logb，请证明数列{b}是等比数列，并求其前n项和T.nn2nnn【答案】(Ⅰ)a＝S＝5，1112232＋7a＋a＝S＝2×22×2＝13，解得a2＝8.(Ⅱ)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32[n2－(n－1)2]＋72[n－(n－1)]＝3(2n－1)＋7＝3n＋2.22又a1＝5满足an＝3n＋

8、2，∴an＝3n＋2(n∈N*)．∵an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(n≥2，n∈N*)，∴数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列．(Ⅲ)由已知得bn＝2an(n∈N*)，nn＋1∵bn＋1＝2an＝2an＋1－an＝23＝8(n∈N*)，bn23/18又b1＝2a