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《递推数列题型归纳解析(教师版)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、递推数列题型归纳解析数列是高中代数的重要内容之一，也是与大学衔接的内容，由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，所以在历年高考中占有重要地位,近儿年更是有所加强.解答题大多以考查等差、等比数列、简单的递推数列为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中档难度的题目。而各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。类型1an+]=an+解法：把原递
2、推公式转化为％+]-£=/（力，利用累加法求解。例:已知数列&,｝满足a｛=—fan+[=an+一，求％2+n解：由条件烁％一"莎〒丽nr」芮分別令〃二123,…….（H-1）,代入上式得（n-1）个等式累加之，即（。2—4）+（。3—勺）+（°4—色）++（Q〃_a”-1）类型2Q曲=/（〃）色解法：把原递推公式转化为也=/（兄），利用累乘法求解。2“例：已知数列｛%｝满足4=一，an+l=an,求色。3〃+1an解：由条件知亠=——,分别令n=1,2,3,……，⑺一1），代入上式得（«-1）个等式累乘Z,即%斤+1a,5a4an123n-lan122—…
3、…—=-x-x-xx—又•/a｝=-,:,an=一a〕a2a3an_x234na｝n33/?类型3an^=pan+q（其中p,q均为常数，（“g（〃一1）工0））。例：已知数列｛%｝屮，4=1,%=2陽+3,求a“・解法一（归纳法）：•・•曾=2an_｝+3=2（2你2+3）+3=2?（2^_3+3）+Z3+3=・・・=2,,-1Qz1+2n_2D+2,,_3^+…•+2出+3=2,/+,-3解法二(待定系数法)：设递推公式爲+1=2色+3可以转化为an+[-t=2(an-t)即an+i=2an-r=>r=-3.故递推公式为a卄］+3=2(an+3),令仇=
4、山+3,则勺=4+3=4，且乩=%+3=2.bn%+3所以｛仇｝是以勺=4为首项,2为公比的等比数列，则仇=4x2w-'=2w+,,所以色=2曲一3・解法三(作差法):•/an+i=2an+3/.an=2%+3两式相减,得:atJ+}—an=2(an—an_x)・•・仏+厂勺}是以色-佔4为首项,2为公比的等比数列・•・色+】一色二2曲•/atl+i=2afl+3/.^=2/,+,-3解法四(作商法):・・・％严2色+3仏+二2〃2并+累加得：bn=2-—"2"则azj=2/,+1-3类型4czw+l=pan+qn(其中p,q均为常数，(/?q(p-l)(q
5、-l)HO))。(或an+=Pan+rQn＞其中p，q，r均为常数)o解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qf得：也音=2•乞+丄引入辅助数列｛bfl｝(其中q"qqHqb产工),得：4+严纽+丄再同类型3求解。qqq例：已知数列｛%｝中,⑷="I，%=如“+(£)""，求色。oj2117解：在％=詛+(彳严两边乘以2比得：2叫％+严彳(2"5)+1323令bn=2〃•%,则亿+严訊+1,解之得:bn=3-2(
6、)“所以61气=3(”—2($类型5an+[=pan+g/?+Z?(/?H1.0,£H0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令^
7、n+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y),与已知递推式比较，解出兀,y,从而转化为仏”+M1+y｝是公比为p的等比数列。例:设数列｛勺｝：%=4,an=3an_x+2〃一1,(〃n2),求an.解：设hn=an+A/2+Bf则=hn-An-B,将％,色一代入递推式，得bfl-An-B=3»心_A(n_1)一B]+2斤一1=3仇_】_(3A-2)«_(3B-3A+1).JA=3A-2“=1B=3B-3A+1〔BT.••取b”=Q”+〃+l・・・(1)则bn=3hn_｝，又b、=6,故仇=6x3n_I=2x3"代入(1)得勺=2xV-n-｝说明：(1)若f
8、(n)为n的二次式，则可设仇=匕+如？+D7+C;(2)本题也可由an=3色_]+2/1-1,an_x=3an_24-2(/2-1)-1(n>3)两式相减得an-an_x=3(%]-an_2)+2转化为»+2=P®田+q"求之•类型6递推公式为S”与①的关系式。(或Sn=f(an))[S.(/?=1)解法：这种类型一般利用色=
9、与cin=Sn-Sn_^f(aJ-f｛an_｛)消去気$-S心(n>2)(n>2)或与Sn=f(Sn-S”J(n»2)消去勺进行求解。例：已知数列仏”｝前n项和Sn=4-an—-.(1)求d曲与％的关系;(2)求通项公式％•解：(1)
10、由Sn=4-aftStl+]=4-an+l-于是Sw
