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1、递推数列题型归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题屮，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1an+[=色+/(71)解法：把原递推公式转化为an+]-an=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列血｝满足⑷=丄，an+｛=an+—,求色。2解：由条件知：陽+[_©=—=1=丄—Lnn(n+l)nn+分别令n=1,2,3,……,(n-l),代入上式得(n-1)个等
2、式累加之，即(a?_e)+(a3—6f2)+(a4_他)++(色_an-)n八1、A1、A1、=(1——)+()+()+22334所以G”_q=1——n1•/a.=—,121131/.cin=—1—="2n2n类型2an^=f(n)an解法：把原递推公式转化为=/•(/?),利用累乘法(逐商相乘法)求解。5士色，求色。774-1分别令〃=123,……"_1),代入上式得(n-1)个等2例:已知数列｛%｝满足^1=-■，解：由条件知皿二亠ann+1式累乘之，即Q2.Q3.d4.%n-xn•••an3/
3、2-13几+2an(n>1),求ano解:_3n-43/z一7-13n-452。6853n-o变式:已知数列｛©｝,满足«1=1an=a〕+2a2+3a3H(n-V)an_x(nM2),则｛an]3(〃—1)—13(〃—2)—13x2—13-13(h—1)+23(m—2)+23x2+23+2的通项d“・解：类型3atJ+]=pan4-q(其中p,q均为常数，0久卩一1)工0))。解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：cin+x-t=p｛an-ty其中t=丄,再利1-〃用换元法转化为等比数列求解。例:
4、已知数列｛%｝中,4=1,an+]=2an4-3,求色.解：设递推公式色+]=2色+3可以转化为an+i-t=2(afl-1)即an+x=2an-t=>t=-3.故递推公式为陽+
5、+3=2(%+3),令bn=an+3,则勺+3=4,.且如=色丄2=2•所以｛仇｝是以也=4为首项，2为公比的等比数列，则hn色+3bn=4x2小=2n+i，所以色=2曲一3.变式：在数列｛afi｝中，若q=1,色+
6、=2色+3(/11),则该数列的通项变式:己知数列｛an｝满足q=1,陽+
7、=2a“+l®wN*).(I)求
8、数列｛。“｝的通项公式；(II)若数列｛仇｝滿足小“於“41=(%+1屮(心“),证明：数列｛加是等差数列;解：变式:递推式：«H+1=pan+/(h)o解法：只需构造数列｛仇｝,消去/(司带來的差异.(或类型4an+[=paH+qn(其中p,q均为常数，(pq(p—l)(q—l)工0))。q“+]=M“+W，其中p，q,「均为常数)。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q沖,得：塔=£•电+丄引入辅助数qqqq列｛仇｝(其中亿=*),得：丄再待定系数法解决。qqq例:已知数列仏｝中’Q
9、=如“+時
10、)心’求色。632112解：在°网=qa〃+q)曲两边乘以2⑷得：2⑷)+122令bn=T^an,则btl+｝=-b^，解之得：bn=3-2(-Y所以an=^=3(-y-2(-)nn2"23类型5递推公式为^+2=pafl+]4-qan(其屮p,q均为常数)。｛$+[—dst=-q待定系数——迭加法：数列仏｝:3%+2—5%+]+2色=0(H>0,/?eA^),di=a.a2=b,求数列｛%｝的通项公式。由3q〃+2-5art+]+2%=0,得2an+2一Q”+i=y(Q“+i一乞J'且a2_Q=b
11、_a。2则数列｛afl^-an｝是以b-a为首项，亍为公比的等比数列，于是2an+~an=(^-«)(-)，，_1。2把n=123「・・,n彳弋入,得a2-a｛=b-a,a3-a2=(b-a)-(-),2.-a3=(Z?-tz).(-)-,•••2=@一0)(§)"一2。把以上各式相加，得71_(土丫-12?2iJan-％二(b-a)[l+§+(§)+•••+(§)"2]=(b-a)。1322an=[3-3(—)"“](b-a)+a=3(a—b)(—)心+3b—2ci°例:已知数列｛勺｝中，绚=1,0
12、2=24+2二■!%+]+*“，求％。〃+121解：由色+2=-^t+i+~an可转化为色+2一阳”1=t(an+[-san)即色+2=6+0勺+1一5=11或＜t=——31s=——3t=这里不妨选用彳S=11(当然也可选用＜t=3S3，大家可以试一试)，则t=an+2~色+1G+1一勺)亠仏1一色｝是以首项为02-®=1，公比为一*的等代入上式得(A2-1)个等式累加之，即/] an4=(3)+(*+•••…心严1-(-卩=[又・・
