数列证明题型总结(教师版)附答案.doc

《数列证明题型总结(教师版)附答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、数列证明题型总结（考试时间：______总分：______）出卷人：__________内测人：__________班号：__________姓名：____________成绩：__________一、解答题：1．在数列中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(Ⅰ)设bn＝，证明：数列是等差数列；(Ⅱ)求数列的前n项的和Sn.【答案】(Ⅰ)因为bn＋1－bn＝－＝＝＝1所以数列{bn}为等差数列(Ⅱ)因为bn＝b1＋(n－1)×1＝n所以an＝n·2n－1所以Sn＝1×20＋2×21＋…＋n×2n－12Sn＝1×21

2、＋2×22＋…＋n×2n两式相减得Sn＝(n－1)·2n＋12．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋.(Ⅰ)设bn＝2nan，证明：数列{bn}是等差数列；(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.【答案】(Ⅰ)由an＋1＝an＋，得2n＋1an＋1＝2nan＋1　bn＋1＝bn＋1，则{bn}是首项b1＝1，公差为1的等差数列．故bn＝n，an＝.(Ⅱ)Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×两式相减，得：Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－Sn＝2－－3．数列{an

3、}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)．(Ⅰ)证明：数列{an}是等差数列，并求出其通项公式an；(Ⅱ)设bn＝an＋2an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(Ⅰ)n＝1时，4a1＝(a1＋1)2⇒a－2a1＋1＝0，即a1＝1n≥2时，4an＝4Sn－4Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝a－a＋2an－2an－1⇒a－a－2an－2an－1＝0⇒(an＋an－1)[(an－an－1)－2]＝0∵an>0　∴an－an－1＝2故数列{an}是首项为a

4、1＝1，公差为d＝2的等差数列，且an＝2n－1(n∈N*)(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn＝an＋2an＝(2n－1)＋22n－1∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1＋21)＋(3＋23)＋…＋[(2n－1)＋22n－1]＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(21＋23＋…＋22n－1)＝n2＋＝＋n2－＝4．数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2＝an＋1(n∈N*)．(Ⅰ)证明：数列{an}是等差数列，并求出其通项公式an；(Ⅱ)设bn＝an·2n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(Ⅰ)由2＝a

5、n＋1(n∈N*)可以得到4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)n＝1时，4a1＝(a1＋1)2⇒a－2a1＋1＝0，即a1＝1n≥2时，4an＝4Sn－4Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝a－a＋2an－2an－1⇒a－a－2an－2an－1＝0⇒(an＋an－1)[(an－an－1)－2]＝0∵an>0　∴an－an－1＝2故数列{an}是首项为a1＝1，公差为d＝2的等差数列，且an＝2n－1(n∈N*)(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn＝an·2n＝(2n－1)·2n∴Tn＝(1·21)＋(3·22)＋…＋[(2

6、n－3)·2n－1]＋[(2n－1)·2n]则2Tn＝(1·22)＋(3·23)＋…＋[(2n－3)·2n]＋[(2n－1)·2n＋1]两式相减得：－Tn＝(1·21)＋(2·22)＋…＋(2·2n)－[(2n－1)·2n＋1]＝2·－2－[(2n－1)·2n＋1]＝(3－2n)·2n＋1－6∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6(或Tn＝(4n－6)·2n＋6)5．已知数列{an}，其前n项和为Sn＝n2＋n(n∈N*)．(Ⅰ)求a1，a2；(Ⅱ)求数列{an}的通项公式，并证明数列{an}是等差数列；(Ⅲ)如果数列

7、{bn}满足an＝log2bn，请证明数列{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn.【答案】(Ⅰ)a1＝S1＝5，a1＋a2＝S2＝×22＋×2＝13，解得a2＝8.(Ⅱ)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝[n2－(n－1)2]＋[n－(n－1)]＝(2n－1)＋＝3n＋2.又a1＝5满足an＝3n＋2，∴an＝3n＋2(n∈N*)．∵an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(n≥2，n∈N*)，∴数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列．(Ⅲ)由已知得bn＝2an(n∈N*)，∵＝＝2an＋1－an＝

8、23＝8(n∈N*)，又b1＝2a1＝32，∴数列{bn}是以32为首项，8为公比的等比数列．∴Tn＝＝(8n－1)．6．已知函数f(x)＝，数列{an}满足：a1＝，an＋1＝f(an)．(Ⅰ)求证：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)记Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，求证：Sn<.【答案】证明：(Ⅰ)∵an＋1＝f(an)＝，∴