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1、高三复数专题复习：一、复数的概念及运算：1、复数的概念：（1）虚数单位i；（2）实部：Rez，虚部：Imz；有理数实数(b0)无理数a,bR；（3）复数的分类(zabi)纯虚数(a0)虚数(b0)0)非纯虚数(a（4）相等的复数：2、复数的加、减、乘、除法则：（1）加减法具有交换律和结合律；（2）乘法具有交换律、结合律、分配律；（3）除法：abiacbdbcadi(cdi0)。cdic2d2c2d23、复数的共轭与模：（1）zRzz；z是纯虚数zz，反之不成立；（2）复数zabi与点Za,b是一一对应关系，另：z与z关于x轴对称，z表示z对应点与原点的
2、距离。4、复数共轭运算性质：z1z2z1z2,z1z2z1z2,z1z2z1z2；5、复数模的运算性质：z1z1(z20),znz1z2z1zz,z2z226、复数的模与共轭的练习：zzz。7、重要结论（1）对复数z、z1、z2和自然数m、n，有zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nnnz1z2(2)i1i，i21，i3i，i41；i4n11，i4n21，i4n3i，i4n1.(3)(1i)22i，1ii，1ii.1i1i(4)设13i，2，2，1nz。20，3n3n，2nn1n208.一些几何结论的复数形式(1)复平面上Z1，Z,2，
3、Z,3三点共线的充要条件是z2z1(R).z3zz(2)复平面上Z1Z2Z3为正三角形的充要条件是（有三种形式，它们是等价的）1.z1z2z2z3z3z1;2.z12z22z32z1z2z2z3z1z3;3.2z1z2z30cosisin.33(3)复平面上Z1Z2Z3的面积为S表示为S1Imz2z1z2z1.2(4)复平面上z1,z2,z3,z4四点共圆的充要条件是z3z1z3z2R,0.：z1z4z2z4二、复数的三角形式：1、复数的三角形式概念：任何1个复数zabi,都可以改写成复数的形式：zr(cosisin),其中：ra2b2,cosa,si
4、nb;rr2、复数的三角形式的乘法公式：设复数z1r1(cosisin),z2r2(cosisin)则，z1z2r1(cosisin)r2(cosisin)r1r2cosisin即：两个复数相乘，积的模等于两个复数的模之积，积的辐角等于两个复数的辐角之和。上述结论，可以推广到有限个复数相乘的情况；z1z2z3znr1(cos1isin1)r2(cos2isin2)r3(cos3isin3)rn(cosnisinn)r1r2r3rncos123nisin123n3、复数的三角形式的乘方公式（棣莫佛定理）r(cosisin)nrn(cosnisinn)即：
5、复数的n（n∈N）次幂的模等于模的n次幂，辐角等于这个复数的辐角的n倍，这个定理称为棣莫佛定理。4、复数的三角形式的除法公式设z1r1cosisin,z2r2cosisin;则：z1r1cosisinr1cosisin.z2r2cosisinr2即：两个复数像除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角。三、复数中的方程问题：1、实系数一元二次方程的根的情况：对方程ax2bxc0（其中a,b,cR且a0），令b24ac，当0时，方程有两个不相等的实数根。当=0时，方程有两个相等的实根；当0时，方程有两个共轭虚根：x1bi
6、,x2bi。222、复系数一元二次方程根的情况：对方程ax2bxc0,xb的平方根；2a3、一元二次方程的根与系数的关系：x1b若方程ax20（其中a,b,cR且ax2bxc0）的两个根为x1、x2，则a；cx1x2a四、例题精选例1：已知z23223240，求z；izi10231i34i22例2：已知z4，求z；23i1例3：设z为虚数，z为实数，且12。z（1）求z的值及z的实部的取值范围；（2）证明：u1z为纯虚数；1z例4：已知关于t的方程t220(aR)有两个根、t2，且满足t1t223。tat1（1）求方程的两个根以及实数a的值；（2）当a
7、0时，若对于任意xR，不等式logax2ak22mk2k对于任意的k2,1恒成立，求实数m的取值范围。2例5：已知复数z1满足(1i)z115i,z2a2i，其中i为虚数单位，aR，若z1z2z1，求a的取值范围。例6：设虚数z满足2z5z10。（1）求z的值；（2）若zm为实数，求实数m的值；mz（3）若12iz在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上，求复数z。例7：已知方程x2xp0有两个根x和x，pR。12（1）若x1x23，求实数p；（2）若x1x23，求实数p；例8：已知复数zabi(a,bR)是方程x24x50的根，复数u3i(uR)
8、满足z25，求u的取值范围。例9：关于x的方程x2(2abi)xabi0有实根，求一个根的模是
