2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.2.2指数函数的图象和性质学案含解析新人教A版必修第一册202103091174.doc

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1、高考4．2.2　指数函数的图象和性质内　容　标　准学　科　素　养1.通过具体的指数函数，总结指数函数的性质、单调性及特殊点．数学抽象逻辑推理、数学运算2.会利用指数函数的性质解决指数函数问题.授课提示：对应学生用书第54页[教材提炼]知识点　指数函数的图象和性质y＝2x与y＝()x的单调性有什么不同？　　　知识梳理0＜a＜1a＞1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1减函数增函数无奇偶性-10-/10高考[自主检测]1．若3x＋1<1，则x的取值X围是(　　)A．(－1,1)　　　　　　B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)解析：3x

2、＋1<1＝30，∵y＝3x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.答案：D2．下列判断正确的是(　　)A．1.51.5＞1.52B．0.52＜0.53C．e2＜eD．0.90.2＞0.90.5答案：D3．y＝3x2＋1的值域是________．解析：设t＝x2＋1，则t≥1，∵y＝3t是增函数，∴y＝3t≥31＝3.答案：[3，＋∞)4．对任意实数m、n，当m＞n时，恒有am＜an，则a的取值X围为________．答案：(0,1)授课提示：对应学生用书第54页探究一　利用指数函数单调性比较大小[例1]比较下列各组数的大小：-10-/10高考(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.

3、2和0.6－1.5；(3)1.50.3和0.81.2.[解析](1)函数y＝1.5x在R上是增函数，∵2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.(2)函数y＝0.6x在R上是减函数，∵－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.(3)由指数函数的性质知1．50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.三类指数式的大小比较问题(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观

4、察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用指数函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图象比较大小.-10-/10高考比较下列几组值的大小解析：探究二　利用指数函数的单调性解不等式[例2][教材P12010题拓展探究](1)如果a－5x＞ax＋7(a＞0，a≠1)，求x的取值X围．[解析]①当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，则－5x＜x＋7，解得x＞－.②当a＞1时，y＝ax为增函数，

5、则－5x＞x＋7，∴x＜－，综上，当0＜a＜1时，x∈(－，＋∞)，-10-/10高考当a＞1时，x∈(－∞，－)．(2)设f(x)＝ax，g(x)＝()x(a＞0，a≠1)，如果对于∀x∈(0，＋∞)都有f(x)＞g(x)，求a的取值X围．[解析]由f(x)＞g(x)得ax＞∴a2x＞1，∀x∈(0，＋∞)都成立．∴a＞1.(3)设f(x)＝3x，g(x)＝10－，如果f(x)＜g(x)，那么x的取值X围是多少？[解析]由f(x)＜g(x)得3x＜10－，即(3x)2－10×3x＋9＜0.设t＝3x＞0，故有t2－10t＋9＜0，1＜t＜9，即1＜3x＜9，∴0＜x＜2.解含指数式的不等

6、式的策略(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等．-10-/10高考探究三　指数函数性质的综合应用[例3]已知f(x)＝x(＋)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(3)求证：f(x)>0.[解析]　(1)由2x－1≠0得2x≠20，故x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x∈R

7、x≠0}．(2)函数f

8、(x)是偶函数．理由如下：由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，∵f(x)＝x(＋)＝·，∴f(－x)＝－·＝－·＝－·＝·＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)证明：由(2)知f(x)＝·.对于任意x∈R，都有2x＋1>0若x>0，则2x>20，所以2x－1>0，于是·>0，即f(x)>0，若x<0，则2x<20，所以2x－1<0，-10-/10高考于是·>0，即f(x)>0，综上知：f(x)>0.解决指数函数性