导数的概念复习.docx

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1、导数定义的利用例若limf(x0x)f(x0)k，则limf(x02x)f(x0)等于（）x0xx0xA．2kB．kC．1kD．以上都不是2分析：本题考查的是对导数定义的理解，根据导数定义直接求解即可解：由于limf(x02x)f(x0)x0xf(x02x)f(x0)lim2x2x02limf(x02x)f(x0)，应选A2x2kx0求曲线方程的斜率和方程例已知曲线1上一点A(2,5yx)，用斜率定义求：x2（1）点A的切线的斜率（2）点A处的切线方程分析：求曲线在A处的斜率kA，即求limf(2x)f(2)x0x解：（1）yf(2x)f

2、(2)2x1x(21)xx222(2x)limylimxxx2x(2x)xx0x0lim1132(2x)4x0（2）切线方程为y53(x2)24即3x4y40说明：上述求导方法也是用定义求运动物体SS(t)在时刻t0处的瞬时速度的步骤．判断分段函数的在段点处的导数1(x21)(x1)例已知函数f(x)2，判断f(x)在x1处是否可导？1(x1)(x1)2分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导．y1(1x)211(121)解：limlim2x21x0xx0y1(1x1)1(121)limlim22x0xx0x12

3、∴f(x)在x1处不可导．说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即lim0f(x0x)f(x0)，当x0；xx包括x0；x0，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数．利用导数定义的求解例设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值．1．limf(x0x)f(x0)；x0x2．limf(x0h)f(x0h).h02h3．若f(x0)2，则limf(x0k)f(x0)等于（）k02k1A．－1B．－2C．－1D．2分析：在导数的定义中，增量x的形

4、式是多种多样的，但不论x选择哪种形式，y也必须选择相对应的形式．利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已给定的极限式班等变形转化为导数定义的结构形式．解：1．原式＝limf(x0x)f(x0)x0(x)f(x0x)f(x0)(x0)limxfx0f(x0h)f(x0)f(x0)f(x02．原式＝lim2hh01f(x0h)f(x0)f(x02limhlimh0h01f(x0)f(x0)f(x0).2h)h)f(x0)h3．f(x0)limfx0k0∴limf(x0k)f(x0)k02k1limf(x0(k)2k0k121.故选A．

5、2(k)f(x0)2（含kf(x0)1f(x0)2xk），说明：概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因．解决这类问题的关键就是等价变形，使问题转化．利用定义求导数例1．求函数yx在x1处的导数；2．求函数yx2axb（a、b为常数）的导数．分析：根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法，确定函数yf(x)在xx0处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法．解：1．解法一（导

6、数定义法）：y1x1，y1x11,xx1x1lim1111,yx11.x0x22解法二（导函数的函数值法）：yxxx，yxxx1,xxxxxlimylimx1x1.x0xx0x2x∴y1x,yx11.222．y[(xx)2a(xx)b](x2axb)2xx(x2)ax(2xa)x(x)2y(2xa)x(x)2(2xa)x,xxlimylim(2xax)2xa,y2xa.xx0x0说明：求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键，因此必须深刻理解导数的概念．证明函

7、数的在一点处连续例证明：若函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在点x0处连续．分析：从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明f(x0)在点x0处连续，必须证明limf(x)f(x0)．由于函数f(x)在点x0处可导，因此，根据函数在点x0处xx0可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式（变为导数定义形式）的转化．解：证法一：设xx0x，则当xx0时，x0，limf(x)limf(x0x)xx0xx0limf(x0x)f(x0)f(x0)xx0f(x0x)f(x0)f(x0)limxxxx0f(x0x)

8、f(x0)xlimf(x0)limxlimx0x0x0f(x0)0f(x0)f(x0).∴函数f(x)在点x0处连续．证法二：∵函数f(x)在点x0处可导，∴在点x0处有lim[f(x)f(x