导数的概念、导数公式与应用.docx

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1、导数的概念及运算9/89/8知识点一：函数的平均变化率(1)概念：函数1中，如果自变量.1在"I处有增量，那么函数值y也相应的有增量厶y=f(x.+△x)-f(xo)，其比值叫做坪二傀+&)-伽)函数:'从则到血+△x的平均变化率，即肛Ax。Ax_/(^)-/Ui)若儿「，二v一一•；，则平均变化率可表示为，■■-一，称为函数一从1到〔的平均变化率。注意：①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当丄丄取值越小，越能准确体现函数的变化情况。③］二是自变量；在〔处的改变量，Ax*O；

2、而3是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数/W没有变化，应取「」丄更小考虑。(2)平均变化率的几何意义函数「=/W的平均变化率-vi的几何意义是表示连接函数y=/to图像上两点割线的斜率。如图所示，函数AB的斜率。9/89/8事实上，:-■作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。知识点二：导数的概念：i.导数的定义：对函数■■■'：，在点〔处给自变量x以增量—函数y相应有增量A严佩+加)-他)若极限9/89/8存在，则此极限称为在点:处的导数，记作/偏或儿崛，此时也称在点-处9/8可导。即：_L.（或’.）注意：①增量］二

3、可以是正数，也可以是负数；②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。2.导函数：如果函数y二/W在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数」,从而构成了一个新的函数」：1,称这个函数」为函数在开区间内的导函数，简称导数。注意：函数的导数与在点〔处的导数不是同一概念，」是常数，是函数在■-处的函数值，反映函数.■门在‘二'：附近的变化情况。3.导数几何意义：（1）曲线的切线A则有备=伽炉空曲线上一点P（x。，yo）及其附近一点Q（x°+Ax,y0+Ay），经过点P、Q作曲线的割线PQ其倾斜角为^当点Q（x°+Ax,y卄厶y）沿曲

4、线无限接近于点P（xo，y。），即△x-0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。若切线的倾斜角为左，则当△x-0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。LAyj.了仏丿t

5、度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。如果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体t到t+△t这段时间内，当△tT0时平均速度的极限，即—丄如果把函数•-’「看作是物体的位移公式)，导数■i的瞬时速度9/89/8规律方法指导1如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出-和丄丄■■■-'-1②作商：对所求得的差作商，即：一：注意：©_了(可)-了佃)_了(可+&)-了佃)(1)4二：-，式子中二、」的值可正、

6、可负，但乩的值不能为零，Ay的值可以为零。若函数/«为常数函数时，二!」(2)在式子’与二1是相对应的“增量”，即在Am时，Ay二他

7、卜血)妙_/佃+&)-/01)(1)在式子「二一.：中，当】取定值，□丄取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当二丄取定值，1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。2.如何求函数在一点处的导数(1)利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”①计算函数的增量：iy_/(x1+Ax)-/(x1)②求平均变化率：」一.：；你)二血®*俶+网一您)③取极限得导数：Ax曲斗oAx(2)利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。3.导数

8、的几何意义①设函数“'；；1在点［的导数是」u表示曲线“在点(….「人」)处的切线的斜率。9/8②设匚二］I是位移关于时间的函数，则=lq,表示物体在「二二时刻的瞬时速度;③设‘1二一是速度关于时间的函数，则；匚.表示物体在「二订时刻的加速度；2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤①求出丨；'■:在■处的导数.;②利用直线方程的点斜式得切线方程为尸肝/讥)A咼)类型一：求函数的平均变化率求1'一」I1在［到--I■之间的平均变化率，并求…I.I时平均变化率的值思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式V(州+&)-/(州)ci、.进