导数的概念与应用

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1、导数的概念与应用时间：08年4月29日一、高考要求①了解导数的实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念；②熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数；③理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．二、两点解读重点:①利用导数求切线的斜率；②利用导数判断

2、函数单调性或求单调区间；③利用导数求极值或最值；④利用导数求实际问题最优解．难点：①理解导数值为零与极值点的关系；②导数的综合应用．三、课前训练1．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（A）（B）（C）（D）2．函数，已知在时取得极值，则=（）（A）2（B）3（C）4（D）53．若函数f（x）=ax3－x2+x－5在R上单调递增，则a的范围是．4．与函数的图象相切，切线斜率为1的切点是．答案：1．A2．D3．4．四、典型例题例1函数在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是（）（A）1，－

3、1（B）1，－17xyO（C）3，－17（D）9，－19分析：由得，令得，令得或，令可得，考虑到，所以的增区间是，减区间为，又，，，所以最大值、最小值分别为53，－17．故选C．例2设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则导函数y=f¢(x)可能为（　）分析：由图象知，当时，为增，所以这时导数为正，可排除选项A、C；又当时，存在减区间，所以导数存在负值，于是可排除选项B，选DxyO（A）xyO（B）xyOxyO（D）（C）P4（C）例3如右下图,函数的图象在点P处的切线方程是，则的值为分析：从图中

4、可见，P点是直线和曲线的公共点，所以由P点的纵坐标，可得；又P点处切线的斜率为，即，故例4（Ⅰ）曲线在点处的切线方程是；（Ⅱ）已知函数，过点作曲线的切线的方程．分析：（Ⅰ）设切线的斜率为，因为，故．所以所求的切线的点斜式方程为：，化简得：；（Ⅱ），设切点为，则：，即：，解得：或，由得或，得：或．例5已知函数．（Ⅰ）若在实数集R上单调递增，求的范围；5（Ⅱ）是否存在实数使在上单调递减．若存在求出的范围，若不存在说明理由．分析：．（Ⅰ）若在实数集R上单调递增，则恒成立，即（Ⅱ）在上小于等于零．即：．例6

5、函数在R上有极值，求取值范围．分析：对函数求导得：，令，即得方程：，此方程的判别式：．①若，显然方程无解，函数无极值；②若，则方程有两个相等实根，这时，所以在两侧均大于零，因此不是函数的极值；③当时，方程有两个不等的实根且的符号如下表：+0—0+因此函数在处取得极大值，在处取得极小值．综上所述，函数当且仅当时有极值，由得或．巩固练习：1．抛物线在点x=1处的切线方程为（）（A）（B）（C）（D）2．已知函数，且，，则（）（A）1（B）—1（C）2（D）—253．设点是曲线上的任意一点，点处切线倾斜角

6、为，则角的取值范围是（）（A）（B）（C）0，，（D）0，，4．已知函数在R上是减函数，则的取值范围是：5．用总长14．8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0．5m，那么高为时容器的容积的最大，最大容积．答案：1．A　2．A　3．C4．　5．1.2m，1.8m36．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且，则的表达式是：．7．已知向量，若函数在区间上是增函数，求t的取值范围．分析：依向量数量积的定义：故：，若在上是增函数，则在上可设．的图象是开口向下的抛物线，由根的

7、分布原理可知：当且仅当，且，上满足，即在上是增函数．综上所述的取值范围是8．设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．（Ⅰ）用表示a，b，c；（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围．分析：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而5将代入上式得因此故，，（II）,因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线，所以即解得所以的取值范围为．5