导数的概念及应用

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1、教学内容知识点一、相关概念1.导数的概念函数y=f(x),如果白变量x在x°处有增量心，那么函数y相应地侑增量二f(x°+Ax)—f(x。)，比值鱼叫做Ar函数y=f(x)在乂。到x°+AxZ间的平均变化率，即0—/("+山)-•/("))。如果当山tO吋，生有极限，我AxAxAr们就说函数y二f(x)在点x°处可导，并把这个极限叫做f(x)在点X。处的导数，记作f'(x°)或y'丨*心。即f(X。)二lim冬胡m心+心)-5)c山to心aatoAr例：设f(x)=x

2、x

3、,则f，(O)=［解析］:lim/(0+心)_/(0)

4、=lim1^1=Hm=limIAr1=0•••『(0)=0心toAr心toAy&tOAr山to2.导数的几何意义函数尸f(x)在点x°处的导数的几何意义是曲线y二f(x)在点p(x°,f(x。))处的切线的斜率。也就是说，曲线v=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率是f'(x0)o相应地，切线方程为y—y()二f(x0)(x—x0)cY例：曲线y=—在点(1,1)处的切线方程为()2x-lA.x-j-2=0B.x+y—2=0C.x+4y—5=()D.x-4y-5=0课堂练习：曲线,y=?-x+3在点(1,3)处的切

5、线方程为.知识点2：导数的运算1.几种常见的函数导数：⑤、①、C=(c为常数)；②、(兀"/=(/?)；③、(sinx)'=；④、(cosx)z=(ax/=；⑥、(ex/=；⑦、(logaxf=；⑧、(Inx丫=2.求导数的四则运算法则：(w±v)，=w，±v，；月、,uv-UVf/(-)=——2_3H°)VV注：①心,必须是可导函数.3复合函数的求导法则：fx(^(x))=fu)•(px)或yx=yu•ux例：求下列各函数的导数:in北2咗；(4)＞，=T77+7777(2)y=(x+l)(x+2)(x+3);=(x2Y

6、+(x3/4-(x~2sinxy=~~^x2+3“-2x*sinx+x—'cosx.(2)y=(xz+3x+2)(x+3)=x3+6x2+llx+6,:N=3x2+12x+ll.-sinx=—(sinxX=—cosx.221+Vx+1-眉2-2(1-x)'2(1-x)2~(l-x)2三、导数的应用1.函数的单调性与导数(1)设函数y=/(x)在某个区间(a,b)可导，如果/(x)>0,则/(兀)在此区间上为增函数；如果f(兀)<0,则.f(x)在此区间上为减函数。(2)如果在某区间内恒有f(兀)=0,则门兀)为常数。例：函数/

7、(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为()A.(2,+oo)B.(-oo,2)C.(-00,0)D.(0,2)［解］：由ff(x)=3x2-6x<0f得00),讨论/(兀)的单调性.【解析】1、D；2、(-1,11)；3

8、、①当0SV2血时，/⑴在(0,+oo)上是增函数.②当a=2迈时，几兀)在(0,+-)上也是增函数.③当a>2^2时，于(兀)在(o,g_J；2_8)和(d+J;2_y,+8)上单调递增,在a—yja2—8a+a2—8.小田、淆、小(,)是上单调递减・222.极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例：函数/(x)=x3+ax2+3x-9,已知.f(x)在兀=一3吋取得极值，则a-()A.2B・3C.4D.5［解析

9、］：•••//(兀)=3兀？+2ax+3,又/(x)在兀=—3时取得极值•••厂(_3)二30_6°二0则a=53.最值：求㈣在S，b］上的最大值与最小值的步骤如K：(1)求/(X)在区间S，b)内的极值(极大值或极小值)；⑵将y=f(x)的各极值与端点处的函数值/@)、/(b)比较，其屮最人的一个为最人值，最小的一个最小值.注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.例：函数/(x)=?-3x+l在闭区间［-3,0］上的最大值、最小值分别是［解析］:由f(x)=3x2-3=0,得兀

10、=±1,当xv—l时，f'(x)>0,当一1VJCV1时，fx)<0,当x>l时，/z(x)>0,故于(朗的极小值、极大值分别为于(一1)=3、/(1)=-1,而/(一3)=—17、/(0)=1故函数/(x)=x3-3x+l在［-3,0］上的最大值、最小值分别是3、-17。