导数概念及应用.doc

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1、3.1导数的概念及其运算知识精要1.导数与导函数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′

2、x=x0,即f′(x0)==.(2)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数称为函数y=f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f′(x0).3.基本初等函数的导数公式基本初

3、等函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=0f(x)=xα(α∈Q*)f′(x)=αxα-1f(x)=sinxf′(x)=cos_xf(x)=cosxf′(x)=-sin_xf(x)=exf′(x)=exf(x)=ax(a>0,a≠1)f′(x)=axln_af(x)=lnxf′(x)=f(x)=logax(a>0,a≠1)f′(x)=4.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);(3)[]′=(g(x)≠0).5

4、.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × )(2)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).( × )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )(5)函数f(x)=sin(-x)的导数是f′(x)=cosx.( × )基础自

5、测1.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是(  )2.有一机器人的运动方程为s=t2+(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为(  )A.B.C.D.3.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(  )A.B.C.D.1 4.设函数f(x)的导数为f′(x),且f(x)=f′()sinx+cosx,则f′()=________.5.(2015·陕西)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的

6、坐标为________.题型一 导数的运算例1 求下列函数的导数:(1)y=(3x2-4x)(2x+1);(2)y=x2sinx;(3)y=3xex-2x+e;(4)y=;(5)y=ln(2x-5).变式:给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导数,记为f″(x)=[f′(x)]′,若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上).①f(x)=sinx+cosx;②f(x)=lnx-2x;③f(x)=

7、-x3+2x-1;④f(x)=xex.题型二 导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题例2 曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为________.命题点2 未知切点的切线方程问题例3已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为(  )A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=0命题点3 和切线有关的参数问题例4 已知f(x)=lnx,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x

8、)图象的切点为(1,f(1)),则m等于(  )A.-1B.-3C.-4D.-2命题点4 导数与函数图象的关系例5 如图,点A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S,则函数S=f(x)的图象为下图中的(  )变式:(1)已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,a=f′(),f′(x)是f(x)的导函数,则过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程为(  )A.3x-y-2=0B.4x-3y+1=0C.3x-y-2=0或3x-4y+1=0D.3x-y-2=0或4x-3y+1=0

9、(2)若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线,则实数m的值为________.若存在过点O

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