31导数概念及应用

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1、3.1导数的概念及其运算知识精要1.导数与导函数的概念⑴函数在X=X0处的瞬时变化率是=/(x0+Ax)—/⑹Ax，我们称它为函数在X=Xo处的导数，记作广(x0)或/

2、x=马，即/'(X。)二g二/(x0+Ax)—/(x0)Ax(2)如果函数y=/(x)在开区间(《，幻内的每一点处都有导数，其导数值在0，~内构成一个新函数，这个函数称为函数在开区间内的导函数.记作/'㈨或/.2.导数的几何意义函数在点x()处的导数的几何意义，就是曲线»在点P(x0,处的切线的斜率h即k=f(xq).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f[x）=c（c为常数）

3、fW=Qf(x)=xa(a^Q)f(x)=axa~[J{x)=sinxf(x)=COSXy(x)—COSXf(x)=-sin_x»=eYfJ[x)=ax(a>0,<3^1)f(%)=axxa，’(x)4y(x)=iogXfl〉o，rl/1<7古1)’(x)_xlna4.导数的运算法则若/⑻，00存在，则有(1)[，(％)土夕(X)]'=f⑴士g'⑴;(2)

4、/(x)•分M]’=f(x)g(x)+/(x)g,(x);⑶[’TW-iz(x)g(x)—X%)g,(X)gW[gW]feW^o).5.复合函数的导数复合函数=/(g(x))的导数和函数yK1

5、/=g(x)的导数间的关系为y/•＜，即v对x的导数等于y对u的导数与对x的导数的乘积.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1)/'(XQ)与o。))'表示的意义相同.(X)(2)求/'(xG)时，可先求＞G)再求/'(xo).(X)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(7)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(X)(5)函数/(x)=sin(—x)的导数是/(x)=cosx.(X)基础自测1.如图所示为函数：V=/(x)，；v=g(x)的导函数的图象，那么y=g(x)的图象可能是(y/y=gf(x)J

6、yLj=/#w0XqX复合函数=/(g(x))的导数和函数yK1/=g(x)的导数间的关系为y/•＜，即v对x的导数等于y对u的导数与对x的导数的乘积.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1)/'(XQ)与o。))'表示的意义相同.(X)(2)求/'(xG)时，可先求＞G)再求/'(xo).(X)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(7)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(X)(5)函数/(x)=sin(—x)的导数是/(x)=cosx.(X)基础自测1.如图所示为函数：V=/(x)，；v=g(x)的

7、导函数的图象，那么y=g(x)的图象可能是(y/y=gf(x)JyLj=/#w0XqXyy0XoX0XoxABy=8(x)Ox7A.19~417•4C.15_13D.T2.有一机器人的运动方程为s=t2jr-{t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（）3.曲线j/=e_2x+l在点（0,2）处的切线与直线j；=0和=x围成的三角形的面积为（）1.设函数/(X)的导数为/’⑻，且./(%)=/’(5)sinx+cosx,则，（晋）二•2.（2015•陕西）设曲线y=ex在点（0，1）处的切线与曲线=+（x〉0）上点P处的切线垂直，则P的坐标

8、为.题型一导数的运算例1求下列函数的导数:(1)jv=(3x2_4x)(2x+1)；(2)j/=x2sinx；(3)尸3xex_2x+e;(4)产lnxx2+l;(5)^=ln(2x一5).变式：给出定义：若函数»在D上可导，即/(x)存在，且导数/(X)在D上也可导，则称»在D上存在二阶导数，记为/'⑻=I/W]'，若/'(x)<0在D上恒成立，则称Zy(x)在上为凸函数.以下四个函数在0,^上是凸函V)数的是(把你认为正确的序号都填上).①/(x)=sinx+cosx；=Inx—2x;®AX)——又3+2x—1；@/(x)—xev.题型二导数的几

9、何意义命题点1已知切点的切线方程问题例2曲线y=e_2r+l在点(0,2)处的切线与直线和y=x围成的三角形的面积为.命题点2未知切点的切线方程问题例3己知函数/(x)=xlnx，若直线/过点(0，一1)，并且与曲线二/(x)相切，则直线/的方程为()A.x+y—1=0B.%一y一1=0C.x~~y~~1=0D.%一y~~1—0命题点3和切线有关的参数问题17例4已知7(x)=ln%，g(x)=^x2+mx+^(m<0)，直线/与函数»，g(x)的图象都相切，且与/x)图象的切点为(1，/I))，则m等于()A.-1B.-3C.-4D.-221y

10、1!1AOE23x命题点4导数与函数图象的关系例5如图，点d(2,1)，5(3,0)，芯(x,