导数的概念(老师版).docx

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1、导数的概念(老师版)导数的概念1.导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limy＝limfx0＋x－fx0为函数y＝f(x)在xxxx→0x→0＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、x＝x0，即f′(x0)＝limy＝lim________.xx→0x→0函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limfx＋x－fx为f(x)的导函数．xx→0答案：fx0＋x－fx0x2．基本初等函数的导数公式基本初等函数f(x)＝C(C为常数)α*f(x)＝x(α∈

3、Q)f(x)＝sinxf(x)＝cosxf(x)＝exf(x)＝ax(a＞0，a≠1)导函数f′(x)＝________f′(x)＝________f′(x)＝________f′(x)＝________f′(x)＝________f′(x)＝________续表基本初等函数导函数f(x)＝lnxf′(x)＝________f(x)＝logaxf′(x)＝________导数的概念(老师版)(a＞0，a≠1)－cosx－sinxexaxlna11答案：0αx1xxlna3．导数的运算法则(1)[f(

4、x)±g(x)]′＝________；(2)[f(x)g(x)]′＝________；fx′＝f′xgx－fxg′x(g(x)≠0)．(3)gx[gx]2答案：(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积．答案：yuxy对uu对x′·u′5.导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数

5、f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点________处的________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为________．答案：P(x0，y0)切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)考点一导数的计算1、分别求出下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝xx2＋1＋1；xx3xx(3)y＝x－sin2cos2；(4)y＝ln1＋2x.导数的概念(老师版)[解](1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex11.·＝exlnx＋xx

6、12(2)∵y＝x3＋1＋x2，∴y′＝3x2－x3.11(3)∵y＝x－2sinx，∴y′＝1－2cosx.1(4)∵y＝ln1＋2x＝2ln(1＋2x)，111∴y′＝··(1＋2x)′＝.21＋2x1＋2x2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)等于()A．－eB．－1C．1D．e答案B解析∵f′(x)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，x∴f′(1)＝－1.故选B.lnx，则f′(2)＝______.3．[2017长·春二模

7、]若函数f(x)＝x答案1－ln24解析由f′(x)＝1－lnx，得f′(2)＝1－ln2.x24[点石成金]导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．导数的概念(老师版)(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．考点二导数的几何意义角度一求切

8、线方程1、曲线y＝2x3－3x＋5在点(2,15)处的切线的斜率为________．答案：21解析：因为y′＝6x2－3，所以曲线在点(2,15)处的切线的斜率k＝6×22－3＝21.2、(1)[2017河·北唐山模拟]曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为()A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－y－1＝0C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0[答案]C1[解析]由于y′＝e－x，所以y′x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(

9、e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.导数的概念(老师版)(2)[20171x＋2y－1＝0垂直，四·川雅安模拟]设曲线y＝ex＋ax在点(0,1)处的切线与直线2则实数a＝()A．3B．1C．2D．0[答案]C[解析]∵与直线x＋2y－1＝0垂直的直线斜率为2，1∴f′(0)＝e0＋2a＝2，解得a＝2.(3)过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有()A．3条B．2条C．1条D．0条[答案]A[解析]23)，那么切线的斜率为2