导数的概念(老师版).doc

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1、导数的概念1.导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、x＝x0，即f′(x0)＝＝________.函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．答案：2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝________f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝________f

3、(x)＝ax(a＞0，a≠1)f′(x)＝________续表基本初等函数导函数f(x)＝lnxf′(x)＝________f(x)＝logaxf′(x)＝________(a＞0，a≠1)答案：0　αxα－1　cosx　－sinx　ex　axlna　　3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝________；(2)[f(x)g(x)]′＝________；(3)′＝(g(x)≠0)．答案：(1)f′(x)±g′(x)　(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导

4、数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积．答案：yu′·ux′　y对u　u对x5.导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点________处的________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为________．答案：P(x0，y0)　切线的斜率　y－y0＝f′(x0)(x－x0)考点一导数的计算1、分别求出下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝x；(3)y＝x－sincos；(4)y＝ln.[解]　(1

5、)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex·＝ex.(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.(3)∵y＝x－sinx，∴y′＝1－cosx.(4)∵y＝ln＝ln(1＋2x)，∴y′＝··(1＋2x)′＝.2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)等于(　　)A．－eB．－1C．1D．e答案　B解析　∵f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.故选B.3．[2017·长春二模]若函数f(x)＝，则f′(2)＝______.答案　解析　由f′(x)＝，

6、得f′(2)＝.[点石成金]　导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．考点二导数的几何意义角度一求切线方程1、曲线y＝2x3－3x＋5在点(2,15)处的切线的斜率为________．答案：21解析：因为y′＝6x2－3，所以曲线在点(2,15)处的切线的斜

7、率k＝6×22－3＝21.2、(1)[2017·河北唐山模拟]曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为(　　)A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－y－1＝0C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0[答案]　C[解析]　由于y′＝e－，所以y′x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.(2)[2017·四川雅安模拟]设曲线y＝ex＋ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则实数a＝(　　)A．3B．1C．2D．0[答案]　C[解析]

8、　∵与直线x＋2y－1＝0垂直的直线斜率为2，∴f′(0)＝e0＋a＝2，解得a＝2.(3)过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有(　　)A．3条B．2条C．1条D．0条[答案]　A[解析]　由题意得，f′(x)＝3x2－3，设切点为(x0，x－3x0)，那么切线的斜率为k＝3x－3，利用点斜式方程可知切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2x－6x＋7＝0.令y＝2x－6x＋7，则y′＝6x－12x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，y＝7＞0；当x0＝2时，y＝

9、－1＜0.结合函数y＝2x－6x＋7的单调性可得方程