导数的概念(老师版).pdf

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1、导数的概念(老师版)导数的概念1.导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：Δyfx0＋Δx－fx0称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim＝lim为函数y＝f(x)在xΔxΔxΔx→0Δx→0Δy＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、x＝x0，即f′(x0)＝lim＝lim________.ΔxΔx→0Δx→0fx＋Δx－fx函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．ΔxΔx→0fx0＋Δx－fx0答案：Δx2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝________α*f(x)＝x

3、(α∈Q)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________xf(x)＝ef′(x)＝________xf(x)＝a(a＞0，a≠1)f′(x)＝________续表基本初等函数导函数f(x)＝lnxf′(x)＝________f(x)＝logaxf′(x)＝________导数的概念(老师版)(a＞0，a≠1)－11答案：0αxα1cosx－sinxexaxlnaxxlna3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝________；(2)[f(x)g(x)]′＝________；

4、fxf′xgx－fxg′x(3)′＝2(g(x)≠0)．gx[gx]答案：(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积．答案：yu′·ux′y对uu对x5.导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点________处的________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方

5、程为________．答案：P(x0，y0)切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)考点一导数的计算1、分别求出下列函数的导数：x(1)y＝elnx；211(2)y＝xx＋＋3；xxxx(3)y＝x－sincos；22(4)y＝ln1＋2x.导数的概念(老师版)11xxxxx[解](1)y′＝(e)′lnx＋e(lnx)′＝elnx＋e·＝elnx＋.xx1232(2)∵y＝x＋1＋2，∴y′＝3x－3.xx11(3)∵y＝x－sinx，∴y′＝1－cosx.221(4)∵y＝ln1＋2x＝ln(1＋2x)，2111∴y′＝··(1＋2x)′＝.21＋2

6、x1＋2x2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)等于()A．－eB．－1C．1D．e答案B1解析∵f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，x∴f′(1)＝－1.故选B.lnx3．[2017·长春二模]若函数f(x)＝，则f′(2)＝______.x1－ln2答案41－lnx1－ln2解析由f′(x)＝2，得f′(2)＝.x4[点石成金]导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)

7、对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．导数的概念(老师版)(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．考点二导数的几何意义角度一求切线方程31、曲线y＝2x－3x＋5在点(2,15)处的切线的斜率为________．答案：2122解析：因为y′＝6x－3，所以曲线在点(2,15)处的切线的斜率k＝6×2－3＝21.2、(1)[2017河北唐山模拟·]曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为()A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－

8、y－1＝0C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0[答案]C1[解析]由于y′＝e－，所以y′x＝1x＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.导数的概念(老师版)1x(2)[2017四川雅安模拟·]设曲线y＝e＋ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，2则实数a＝()A．3B．1C．2D．0[答案]C[解析]∵与直线x＋2y－1＝0垂直的直线斜率为2，10∴f′(0)＝e＋a＝2，解得a＝2.23－3x的切线最多有()(3)过点A(2,1)作曲线f(x

9、)＝xA．3条B．2条C．1条D．0条[答案]A23