导数的概念复习2

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1、导数问题:—、求跚的极值的一fi^舉先求定义域刀，再求导，再解方程八X）90（注意和D求竣力最后歹愫确定扱值。QTfeifi,点孔辭时，如果氐附近左侧f（力>0,右侧八x）<0,那么于（孔）是极大值。一般也鹽在/仗）点氐连续时，如果呂附近左侧八力<0,右侧.厂（x）Xb二、求最值问题。（!）设V=/（X）是定义在团区间匕切上的叱心严八X）在“2丿内有导数，可I痂样求最值=①求出函数在（40）内的可能极值点（即方程/（功=0在（。#）内的根解題歩骤②比较遞值/（d），/@）与">1）丿（勺）,・・・丿“

2、、•“屮最大的一卜为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区⑧（亿b），则必须通过求导，求晦取的*调区间，議后确定函数的最值.例1已知函数/（x）=—ar3+/?x2+兀+3,其中a工0（1）当满足什么条件时，/（兀）取得极值？（2）已知67>0,且/（X）在区间（0,1]上单调递增，试用。表示出〃的取值范围.解：（1）由已知得广0）=处2+2加+1,令广（X）=0,得徴2+24+1=0/（x）要取得极值:方程a"4-26x4-1=0必须有解:所以△=4护-4a>0：即沪〉a：此时方程+2bx4-

3、1=0的根;"~2b~a/462—4^—b—vi2——2b+—4a—b+aA22aXj——»X?=—所以/，（X）=£7（X-X1XX-X2）当Q>0时，X(-°°,Xi)X1(X1,x2)X2(x2,+8)f‘(x)+0—0+f(x)增函数极大侑减函数极小值增函数所以/(x)在X!,X2处分别取得极大值和极小值.当av0时，X(-°°,X2)X2(x2,X1)X1(X],+8)f‘(x)—0+0—f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以/(X)在X】，X2处分别取得极大值和极小值•综上，当“满足h

4、2>a时，/(x)取得极值.⑵要使/(%)在区间(0,1］上单调递增，需使广⑴=后+2加+1»o在(0,1］上恒成立.即处-〒-£严(0，1］恒成立，所以爪(-牛-、吨22x22x(r1、ax1a1a(x__)2xax令g'(%)=0得X=—r=或X=~r=(舍去),yjayja当g>1时，0<-<1,当xg(0,^=)时g*(x)>0,g(«x)=-学--单调增函数;a>Ja22x当川时5*(x)<0,g(x)=-—--单调减函数,22x所以当兀=亠时，竝兀)取得最大，最大值为g(-L)=-V^・

5、Jayja所以bA-yfci当OvgMI时，-^>1,此时gx)>0在区间(0,1］恒成立，所以g(x)=-—~丄在y/a22x区间(0,1］上单调递增，当兀=1时gg最大，最大值为5(1)=-^，所以h>-^l2综上，当g〉1时，b>-y［a;当OvgWI时，2.已知函数/(力=咤丛(£为常数.e=2.71828...是自然对数的底数).曲线y=/(x)在点(1,/(!))处的切线与x轴平行.(I)求公的值;(H)求/⑴的单调区间；(HI)设g(x)=(x2+x)f'(x)f其中fx)是f(x)

6、的导函数•证明:对任意兀〉0.g(x)<+e2・J—]nx—k解：(I)广⑴二一-—，依题意，广⑴=j==l为所求.eel-lnx-l(口)此时广(兀)=~-(x>0)记h(x)-丄一lnx-l,h*(x)=X古记VO,所以心在(°十)单减■又/1(1)=0,所以■当01时.h(x)<0,f*(x)<0..f(X)单减.所以，增区间为(0,1);减区间为(1,+00).(in)g(x)=(X2+x)f*(x)=14^-(1-XInx-x)■先研究

7、■再研突些.egX①ifii(x)=1-xlnx-x5x>0fix)=-x-2■令，3=0.壽x=Qz当xw(O,訂)时fix)>Q,i(x)；当xE@J,+oo)B5,ix)0f丿'(X)=-电<0f所以/(x)在(0,+00,单减"l++D寸VIHIXUHID寸・s®,0朋V+II迖