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1、西安交大复变函数课件4-3泰勒级数一、问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点如图:.K.2由柯西积分公式,有其中K取正方向.则3即存在一个正常数M,7在内成立,从而在K内圆周的半径可以任意增大,只要内成立.在的泰勒展开式,在泰勒级数8如果到的边界上各点的最短距离为那末在的泰勒展开式在 内成立．因为凡满足的必能使由上讨论得重要定理——泰勒展开定理在的泰勒级数的收敛半径至少等于 ，但9二、泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理设在区域内解析,为内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当泰勒介绍10说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一
2、想,为什么?)4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.(为什么?)11因为 解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.注意问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？12那末即因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.13三、将函数展开成泰勒级数常用方法:直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数14例如，故有15仿照上例,162.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要
3、求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.17例如，18附:常见函数的泰勒展开式1920例1解四、典型例题21上式两边逐项求导,22例2分析如图,23即将展开式两端沿C逐项积分,得解24例3解25例4解26例5解27例6解即微分方程对微分方程逐次求导得:2829五、小结与思考通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.30奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题31奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.思考题答案放映结束，按Esc退出.32泰勒资
4、料Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,EnglandDied:29Dec1731inSomersetHouse,London,EnglandBrookTaylor33祭十二郎文课堂检测１．选出加点词的注音都正确的一项A.不省（xǐng）所怙（hù）请归取其孥（nú）丞相薨（hòng）B.吾去汴（biàn）州孰谓汝遽（jù）去辍（chuò）汝而就奴婢（bēi）C.窆（bǐan）不临其穴曷（hé）其有极敛（liǎn）不凭其棺夭殁（mò）D.纯（chún）明志气日益微（wéi）时羞之奠（diàn）衔（xián）哀致诚２．选出下面各句中“以”字用法不同类的一项（
5、 ）Ａ．使者妄称以应之乎Ｂ．汝殁以六月二日Ｃ．殁不能抚汝以尽哀Ｄ．当求数顷之田于伊、颖之上，以待馀年。３．选出下列各句中的“其”字不是代词的一项（ ）Ａ．吾其无意于人世矣Ｂ．教吾子与汝子，幸其成Ｃ．亦未知其言之悲也Ｄ．汝未省吾，止一岁，请归取其孥４．下列各句中不含通假字的一项是（ ）Ａ．吾上有三兄，皆不幸早世Ｂ．零丁孤苦，未尝一日相离也Ｃ．其后四年，而归视汝Ｄ．敛不凭其棺，窆不临其穴５．下列句子中加括号的词语，古今义相同的一项是（ ）Ａ．图久远者，莫如西归，将(成家)而致汝Ｂ．吾与汝俱(少年)，以为虽暂相别，终当久相与处Ｃ．如此孩提者，又可冀其（成立）邪Ｄ．毛血(日益)衰６．解
6、释下列多义词９．选择题（１）与“强者夭而病者全乎”中的“全”有不同用法的句子是（ ）Ａ．大王必欲急臣Ｂ．沛公军霸上Ｃ．徐而察之，则山下皆石穴罅Ｄ．北亦未敢遽轻吾国（２）与“吾兄之盛德而夭其嗣乎”中的“夭”有不同用法的句子是（ ）Ａ．蛟龙不屑，不能兴风雨 Ｂ．得其尤绝者家焉Ｃ．足以荣汝身 Ｄ．乘犊牛，从吏卒（３）句式与其他三项不同类的一句是（ ）Ａ．惟兄嫂是依 Ｂ．吾与汝俱幼，从嫂归葬河阳Ｃ．大王来何操？ Ｄ．句读之不知，惑之不解10．下面各句，从句式特点上看，与例句相同的一项是（ ）例句：及长，不省所怙，惟兄嫂是依。①吾辈惟马首是瞻
7、。②承先人后者，在孙惟汝，在子惟吾。③宋何罪之有？④予惟不食嗟来之食以至于斯也。⑤时人莫之许也。⑥匈奴未灭何以家为？⑦古之人不余欺也。Ａ．①②③④⑤ Ｂ．③④⑤⑥⑦Ｃ．①③⑤⑥⑦Ｄ．①②③⑥⑦１．Ｃ ２．Ｂ“以”：介词，在；ＡＣＤ的“以”均为目的关系的连词，来３．Ａ（语气助词，表示揣测） ４．C ５．D６．（１）①知道②省察③探望 （２）①诚心②如果③确实（３）①近来②紧挨着③等到 （４
