整体化数学思想在高考试题中应用

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1、整体化数学思想在高考试题中应用　　数学思想、方法是数学中的精髓，是联系数学中各类知识的纽带。学生一旦掌握了这些思想和方法，将会终身受益。因此在数学教学中，人们越来越感觉到渗透数学思想的重要性，因为这是对数学本质上的认识。虽然数学离不开解题，但解题并不是数学教育的全部，根据新课程理念，学习数学要掌握数学的本质，掌握数学思想，学会用数学的眼光去看问题，用数学的思想去分析问题、解决问题。整体化思想是一种很重要的数学思想，是一种从宏观的的角度来审视问题、解决问题的思想。下面就通过一些典型的高考数学试题的解析感悟一下整体化数学思想的魅力。一、集合

2、问题中的正难则反法或补集法集合这个概念本身就具有整体性，某些确定的、不同的对象的全体就构成一个集合。集合的性质也是集合中全体元素具有的性质，集合论所体现出来的整体思想在解题中可以带来许多便捷，集合论的思想方法已经渗透到数学的许多分支，从整体上推动了数学的发展。例1：（2011年江苏高考试题）设集合，A={（x，y）

3、■≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）

4、2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠？覫则实数m的取值范围是_________。4分析：当m≤0时，集合A是以（2，0）为圆心，以m为半径的圆，当m>

5、0时，集合A是以（2，0）为圆心，以■和m为半径的圆环。集合B是在两条平行线之间的区域。若从题的条件出发，用直接方法解此题要分三种情况，还要考虑题本身的隐含条件，情况多，学生容易出错，若从问题的反面即A∩B=？覫来考虑此题，只需分如图（1）的两种情况，减少计算量有助于学生准确答题。简解如下：1.A=？覫，即■>m2，解得0

6、m

7、？圯m>2+■或m2+■；（2）■>

8、m

9、？圯m>■或m2+■；所以A∩B≠？覫？圯■≤m≤2+■；评注：上面的解法是间接求法，解题过程简洁，类似的一些问题若用直接法解题可能就会陷入烦琐计算的泥潭中，分类太多了，

10、学生出错的概率大，遇到此类情况，“正难则反”这种间接解决问题的整体化思想便显示出它的优越性。二、立体几何中的补形法或补体法利用补形法或补体法的关键，是敢于挣脱思想上无形的牢笼，突破思维定势的束缚，正确地看待整体与局部的辩证关系，善于扩展思维的空间，通过恰当的补形、补体，从宏观、整体的角度来思索和处理问题。例2：（1997年全国高考试题）如右图（2），在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点。设AA1=2，求三棱锥F-A1ED1的体积。4解：取AB的中点G，CC1的中点M，连接MD1、GE、EF、GA1、GF、

11、ME、MF，则补成三棱柱A1GE-D1MF是直三棱柱，可求得S■=■，故V■=V■=V■=■V■=■×■×2=1。评注：补形法的基本解题思路：认清原图形（几何体）的形体结构，联想此几何图形（几何体）拓展后整体结构图形，再从整体图形（几何体）中重新认识原几何图形，利用整体结构图形（几何体）寻找、发现解题思路。三、线性规划中的目标函数法线性规划是数学规划中理论比较完整、方法比较成熟、应用比较广泛的一个分支，通过线性规划的学习，使学生进一步了解数学在实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣，应用数学的意识和解决实际问题的能力。从近几年高考试题

12、来看，对线性规划问题的考查综合程度变得越来越高，应该引起足够的重视。例3：（2012年江苏高考试题）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则■的取值范围是。略解：令■=x，y=■，条件就转化为：3x+y≥5x+y≤4y≥exx>0，y>04求■的取值范围。由线性规划知识，做出（x，y）所在的平面区域（如图3），求出y=ex的切线为y=ex且易判断切点P（1，e）在区域顶点A，B之间，故易求出■的范围为[e，7]。评注：线性规划是高中数学的重要内容，它是整体化思想与数形结合思想的应用典范。线性规划中不论

13、是线性区域还是目标函数都体现了从整体来考虑问题的一种“整体化”的思想。另外，由于目标函数的多样性和隐蔽性，把要解决的问题化归为线性规划问题是此类问题的一个难点，而能够顺利识别目标函数的几何意义是此类问题的另一个难点，也是能够正确解决问题的关键。四、解析几何（一）设而不求法“设而不求”的方法，在解析几何中是很常见的一种方法，其本质就是在整体化思想的指导下，根据题设条件与结论的结构特点，设法绕过烦难的计算，寻求简洁、巧妙的通道，达到“曲径通幽”效果。例4：（2012年辽宁理科高考试题）如图（4），椭圆C0：■+■=1（a>b>0，a，b为常

14、数），动圆C1：x2+y2=t12，b　　解：（1）设A（x1，y1），B（x1，-y1），又知A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为y=■（x+a）①，直线A2B的方程y=■（x-a）②，