巧用过两圆交点的曲线系方程解题.doc

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1、巧用过两圆交点的曲线系方程解题河南省三门峡市卢氏一高老校区数学组（472200）赵建文Email:zhaojw1968＠tom.com已知圆A：++++=0与圆B：++++=0，方程：+++++(++++）=0①,当时，方程①表示过圆A与圆B的交点的圆系的方程,当=0时，表示圆A，但不能表示圆B；当=时，若圆A与圆B相交，方程①表示圆A与圆B的公共弦所在的直线方程,当圆A与圆B相切时，方程①表示圆A与圆B的公切线方程，当两圆相离时，方程①表示与两圆连心线垂直的方程,在解圆的有关问题，常常用到这一结论,可以起到事半功倍的效果，本文将过两圆交点的曲线系方程在解题中的应用作以介绍，供同学们学习

2、时参考.一、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程例1求过圆:+++1=0与圆：++=0的交点，圆心在直线：的圆的方程.分析：本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解.解析:设所求圆的方程为：+++1+++)=0(≠)。整理得=0，所以所求圆的圆心为，由已知知所求圆的圆心在直线：上，所以＝0，解得，=，代入圆系方程整理得,所以，所求圆的方程为。点评：对过两圆交点的圆的问题，用过两圆的交点的圆系方程求解,可以优化解题过程,注意过交点的圆系方程表示的圆包括哪一个圆不包括那一个圆，且参数不等于这一条件，同学们应很好掌握这一方法.二、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程例2已

3、知圆O:和圆外一点A（3,4)，过点A作圆O的切线,切点分别为C、D,求过切点C、D的直线方程.分析:本题是求过切点的直线方程,由切线性质知，切点在以线段AO为直径的圆上，故直线CD是以线段AO为直径的圆与圆O的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.解析：由切线性质知，切点C、D在以线段AO为直径的圆上,由题知，O（1,),∴

4、AO｜==，线段AO的中点为（2，1），∴以线段AO为直径的圆的方程为，，即，圆O的方程与以AO为直径的圆的方程相减整理得：++3=0，∴直线CD的方程为++3=0。点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程

5、求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数为何值时表示圆，参数为何值时表示直线.