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《过两圆交点的公共弦所在直线方程探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、过两圆交点的公共弦所在直线方程探究求经过两条曲线x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交点的直线方程.常规解法是:联立方程求方程组解即两交点坐标为A(0,0),过两交点的直线方程为7x-4y=0.(4)由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,我们可得以下结论结论1:如果两条曲线方程是f1(x,y)=0和f2(x,y)=0,它们的交点是P(x0,y0),则方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0的曲线也经过P(x0,y0)(是任意常数).有了这个结论，有些题目可快速求解。过两圆交点的公共弦所
2、在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。例2(课本P70.13题)求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.解:构造方程x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-(4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为当该圆心在直线x-y-4=0上时,即∴所求圆方程为x2+y2-x+7y-32=0例3：（P81.14题）求证：两椭圆b2x2+a2y2=a2b2,a2x2+b2y2
3、=a2b2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程。解：将已知的两椭圆方程相加，得此方程为以原点为圆心的圆的方程，由曲线系知识知该圆过已知两椭圆的交点。即原题得证。注意:1.由以上分析可以看出,利用曲线系解题,可以快速求解,但有时却是失效的.例4:求以圆x2+y2=5与抛物线y2=4x的公共弦为直径的圆的方程.常规解法:联立方程以这两点为直径的圆的方程是.如果用曲线系分析，构造方程即(8)显然,λ=0不是所求圆方程,而在λ≠0时,方程(8)已不是圆方程了.∴由(8)得不出所求结果.由方程(5),(6)得到方程（7）
4、,方程(7)是过(5)(6)公共点的曲线,但方程(7)不能包含过(5)(6)的所有曲线.最简单的例子是:两直线x+y=0,x–y=0的交点是(0,0),而y2=4x,(x–1)2+y2=1等曲线都过(0,0),但这些曲线不能从直线系中得到.曲线系方程(7)不能包含过两曲线(5)(6)公共点的所有曲线，那么使用时怎么知道所求方程在不在方程(7)中呢?一般,我们对所求方程结果的形式应该认识,所构造的方程中有所求结果的形式就可用,否则不可用.例3,例4就是例子.有三点是可以肯定的:I.如果(5)(6)是直线,则(7)是直线.
5、II.如果(5)(6)是圆,则(7)是圆,或公共弦所在直线方程.将此推广,可得III.如果(5)是圆,(6)是直线,则(7)是圆。虽然曲线系有时失效,但它任不失为一种有用的方法.如果灵活应用,更能显示它的优越性.从例1可看到,要求两圆公共弦所在直线方程,只须将两圆方程中的x2,y2项消去即可.但是如果两圆无交点,仍可得到一条直线方程,如:已知两圆(x–1)2+(y–1)2=2(x+2)2+(y+2)2=4相减,得3x+3y–4=0直线3x+3y–4=0与已知圆有何关系?我们先从两圆有交点分析:设⊙O1,⊙O2交于A,B
6、，P是AB上任一点(非A,B),过P作两圆割线，与⊙O1交于C1,D1,与⊙O2交于C2，D2，由相交弦定理。则
7、PC1
8、•
9、PD1
10、=
11、PC2
12、•
13、PD2
14、=
15、PA
16、•
17、PB
18、如果P在线段AB的延长线上,过P作两圆的切线PT1,PT2,由切割线定理得
19、PT1
20、2=
21、PT2
22、2=
23、PA
24、•
25、PB
26、当两圆运动，从相交到外切，再到相离时，猜想性质
27、PT1
28、=
29、PT2
30、保持不变。由此得到结论：动点P到两圆⊙O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,⊙O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的切线长相等，则动点P在一直线上
31、运动，该直线方程为(D1–D2)x+(E1–E2)y+(F1–F2)=0.证明：设P(x,y),则由P向两圆分别作一条切线PT1,PT2,则
32、PT1
33、=
34、PT2
35、,即
36、PO1
37、2–r12=
38、PO2
39、2–r22乘开x2+y2+D1x+E1y+F1=x2+y2+D2x+E2y+F2,即(D1–D2)x+(E1–E2)y+(F1–F2)=0.由7中的结论证明，我们可发现，对于圆方程如果P0(x0,y0)是圆外一点，过P0作圆的切线P0T，则切线长
40、P0T
41、满足.
