过两圆交点的圆系方程及其推广应用.doc

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1、过两圆交点的圆系方程及其推广应用（本文发表于《数理天地》杂志）福建晋江第一中学数学组黄马庆邮编362200电话0595-85864496邮箱jjyzhmq@163.com关键词过两圆交点的圆系方程过两圆交点的曲线系方程推广应用摘要本文通过过两圆交点的圆系方程的应用，推广到过两曲线交点的曲线系方程，并举例说明其应用。普通高中课程标准试验教科书《数学必修2》第144页习题4.2A组第4题：求圆心在直线上，并且经过两圆与的交点的圆的方程。第9题：求圆与圆的公共弦长。第10题：求经过点以及圆与圆交点的圆的方程。这些问

2、题都涉及到求经过两圆交点的圆的方程。普通的解法都是先求出两圆的交点，然后再根据其它条件解决所求问题。但如果采用过两圆交点的圆系方程来解，则可以化繁为简不需求出两圆的交点。下面以第4题为例说明其解法。解：设所求圆的方程为：，即。其中圆心为，又该圆心在直线上，即，得＝－7。∴所求圆方程为。事实上，我们还可以将以上过两圆交点的圆系方程进一步推广成过两曲线交点的曲线系方程。即：如果两条曲线的方程是和，它们的交点是，则方程所表示的曲线是经过点的曲线系方程（但不包括曲线，其中为任意常数）。证明：（1）因为是曲线和的交点，

3、所以，，所以，所以方程所表示的曲线经过点。（2）设为不在上的任意一点，则曲线经过点的条件是。因为，所以，故若，方程表示的曲线就是经过点和任一不在上的点的曲线。下面再举例说明过两曲线交点的曲线系方程的应用。应用一：证明曲线过定点例1求证：无论取何值，曲线总通过定点。证明：曲线即，解方程组得或故曲线总通过定点和。例2圆，直线:().证明：不论取何值，直线与圆恒交于两点。证明：的方程即。由得，故恒过定点。又圆心，，故点在圆内，从而直线与圆恒交于两点。说明：本题若直接求交点，计算量将会相当大。应用二：求两曲线相交所得

4、的公共弦所在直线例2已知圆：，圆：相交于，两点，圆：，求直线交圆所得的弦长。解：过，两点的曲线系方程：，令＝－1即得直线：。圆的圆心到直线的距离为，设所求弦长为，则，故，所求弦长为。应用三：求曲线方程例4求过抛物线和的两个交点，及点、、的曲线。解：直线的方程：即，又直线的方程为。设所求曲线方程为：（※）。因为过点，带入（※）得，故所求曲线为。